Объясни, как найти производные и их значения в указанных точках для функций из варианта 3: f(x) = x^2 + 4x - 6, f(x) = 2x³ - x² + 4x - 2, f(x) = 2^x * log₂(x), f(x) = (x² - 5) / (x² - 1), f(x) = ⁸√x

Конечно, давай разберёмся с этими задачками! Они про производные, а это значит, что мы будем искать, как быстро меняется функция. **1. $f(x) = x^2 + 4x - 6$** Чтобы найти производную, вспомним, что производная $x^n$ это $n*x^(n-1)$. А производная константы равна нулю. Тогда: $f'(x) = 2x + 4$ *Что мы сделали:* Просто применили правило для каждого слагаемого. **2. $f(x) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$** a) $f'(x) = 6x^2 - 2x + 4$ *Что мы сделали:* Опять применили правило для каждого слагаемого. б) Теперь нужно найти $f'(2)$. Подставляем 2 в производную: $f'(2) = 6*(2)^2 - 2*2 + 4 = 6*4 - 4 + 4 = 24$ *Что мы сделали:* Подставили число в производную и посчитали. **3. $f(x) = 2^x \cdot log_2(x)$** a) Здесь понадобится правило произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. В нашем случае $u = 2^x$, $v = log_2(x)$. $u' = 2^x \cdot ln(2)$ (производная показательной функции) $v' = \frac{1}{x \cdot ln(2)}$ (производная логарифма) Тогда: $f'(x) = 2^x \cdot ln(2) \cdot log_2(x) + 2^x \cdot \frac{1}{x \cdot ln(2)}$ *Что мы сделали:* Применили правило произведения и нашли производные каждого множителя. б) Теперь нужно найти $f'(1)$. Подставляем 1 в производную: $f'(1) = 2^1 \cdot ln(2) \cdot log_2(1) + 2^1 \cdot \frac{1}{1 \cdot ln(2)} = 2 \cdot ln(2) \cdot 0 + \frac{2}{ln(2)} = \frac{2}{ln(2)}$ *Что мы сделали:* Подставили число в производную и посчитали, помня, что $log_2(1) = 0$. **4. $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 1}$** a) Здесь нужно правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$. В нашем случае $u = x^2 - 5$, $v = x^2 - 1$. $u' = 2x$ $v' = 2x$ Тогда: $f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 - 1) - (x^2 - 5) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 + 10x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{8x}{(x^2 - 1)^2}$ *Что мы сделали:* Применили правило частного и упростили выражение. б) Теперь нужно найти $f'(0)$. Подставляем 0 в производную: $f'(0) = \frac{8 \cdot 0}{(0^2 - 1)^2} = \frac{0}{1} = 0$ *Что мы сделали:* Подставили число в производную и посчитали. **5. $f(x) = \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}$** a) $f'(x) = \frac{1}{8} \cdot x^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{8 \cdot x^{\frac{7}{8}}} = \frac{1}{8 \cdot \sqrt[8]{x^7}}$ *Что мы сделали:* Применили правило для степенной функции. б) Теперь нужно найти $f'(7)$. Подставляем 7 в производную: $f'(7) = \frac{1}{8 \cdot \sqrt[8]{7^7}}$ *Что мы сделали:* Подставили число в производную. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие задачи! Если что, спрашивай ещё!