Ты просишь меня найти корни уравнения lg(x²+19) - lg(x+1) = 1

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит вот так: $$\lg(x^2 + 19) - \lg(x + 1) = 1$$ Сначала мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое говорит, что разность логарифмов равна логарифму частного: $$\lg\left(\frac{x^2 + 19}{x + 1}\right) = 1$$ Теперь, чтобы избавиться от логарифма, вспомним, что десятичный логарифм ($\lg$) — это логарифм по основанию 10. Значит, мы можем переписать уравнение в виде: $$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10^1$$ $$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10$$ Умножим обе части уравнения на $(x + 1)$, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 + 19 = 10(x + 1)$$ $$x^2 + 19 = 10x + 10$$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 10x + 9 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Здесь проще воспользоваться теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 10, а в произведении 9. Это числа 1 и 9: $$(x - 1)(x - 9) = 0$$ Итак, у нас два возможных решения: $$x_1 = 1, \quad x_2 = 9$$ Теперь проверим, подходят ли оба решения в исходное уравнение. Помни, что логарифм существует только для положительных чисел. Для $x_1 = 1$: $$\lg(1^2 + 19) - \lg(1 + 1) = \lg(20) - \lg(2)$$ Используем свойство логарифмов: $\lg(20) - \lg(2) = \lg(\frac{20}{2}) = \lg(10) = 1$. Значит, $x_1 = 1$ — решение. Для $x_2 = 9$: $$\lg(9^2 + 19) - \lg(9 + 1) = \lg(81 + 19) - \lg(10) = \lg(100) - \lg(10) = 2 - 1 = 1$$ Значит, $x_2 = 9$ — тоже решение. **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = 9$