Реши уравнение r) 2/(x²+5x) + 3/(2x-10) = 15/(x²-25)

Решим уравнение $\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}$. 1. **Приводим к общему знаменателю:** - Заметим, что $x^2 + 5x = x(x+5)$, $2x - 10 = 2(x-5)$ и $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$. - Общий знаменатель будет $2x(x+5)(x-5)$. 2. **Преобразуем уравнение:** $$\frac{2 \cdot 2(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3 \cdot x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{15 \cdot 2x}{2x(x+5)(x-5)}$$ 3. **Упрощаем числители:** $$\frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$$ 4. **Приравниваем числители:** $$4(x-5) + 3x(x+5) = 30x$$ 5. **Раскрываем скобки и упрощаем:** $$4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$$ $$3x^2 + 19x - 20 = 30x$$ $$3x^2 - 11x - 20 = 0$$ 6. **Решаем квадратное уравнение:** - Используем квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 3$, $b = -11$, $c = -20$. - Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$. - Вычисляем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{361}}{6} = \frac{11 \pm 19}{6}$. 7. **Находим два возможных решения:** - $x_1 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$ - $x_2 = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ 8. **Проверяем ОДЗ (область допустимых значений):** - $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$ 9. **Исключаем посторонние корни:** - $x_1 = 5$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. - $x_2 = -\frac{4}{3}$ подходит. **Ответ: $x = -\frac{4}{3}$**