Реши уравнение: 2/(x²+5x) + 3/(2x-10) = 15/(x²-25)

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$, нужно найти общий знаменатель и привести дроби к нему. 1. **Находим общий знаменатель.** Для этого разложим знаменатели на множители: * $x^2 + 5x = x(x+5)$ * $2x - 10 = 2(x-5)$ * $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$ Общий знаменатель будет $2x(x+5)(x-5)$. 2. **Приводим дроби к общему знаменателю:** * Первую дробь умножаем на $\frac{2(x-5)}{2(x-5)}$: $\frac{2 \cdot 2(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)}$ * Вторую дробь умножаем на $\frac{x(x+5)}{x(x+5)}$: $\frac{3 \cdot x(x+5)}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)}$ * Третью дробь умножаем на $\frac{2x}{2x}$: $\frac{15 \cdot 2x}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$ 3. **Записываем уравнение с общим знаменателем:** $\frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$ 4. **Убираем знаменатель**, так как он одинаковый. Остаётся уравнение с числителями: $4(x-5) + 3x(x+5) = 30x$ 5. **Раскрываем скобки и упрощаем:** $4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$ 6. **Переносим все в одну сторону**, чтобы получилось квадратное уравнение: $3x^2 + 19x - 20 - 30x = 0$ $3x^2 - 11x - 20 = 0$ 7. **Решаем квадратное уравнение.** Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ 8. **Проверяем корни.** Важно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x. Если обращается, то это не корень уравнения. * $x = 5$: $2x - 10 = 2 \cdot 5 - 10 = 0$. Значит, $x = 5$ не является корнем. * $x = -\frac{4}{3}$: Проверим, что знаменатели не равны нулю. Вроде всё ок. **Ответ: $x = -\frac{4}{3}$**