Объясни, как доказать, что значение выражения $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2}$ является рациональным числом

Задание 83. Докажи, что значение выражения является рациональным числом: а) $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2}$ Чтобы решить этот пример, нужно вспомнить, что такое рациональное число. Рациональное число - это число, которое можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа. Например, 1/2, 3, -5/7 - всё это рациональные числа. Теперь давай упростим выражение. Когда мы берем квадратный корень из квадрата какого-то числа, мы получаем модуль этого числа. Модуль - это расстояние от числа до нуля, поэтому модуль всегда положительный или равен нулю. Итак, наше выражение можно переписать так: $|7-4\sqrt{3}| - |4-2\sqrt{3}|$ Теперь нужно понять, какие знаки будут у чисел под знаком модуля. Для этого сравним $7$ и $4\sqrt{3}$, а также $4$ и $2\sqrt{3}$. $4\sqrt{3} = \sqrt{16*3} = \sqrt{48}$. Так как $\sqrt{48} > \sqrt{49} = 7$, то $4\sqrt{3} > 7$, значит, $7 - 4\sqrt{3} < 0$ и $|7-4\sqrt{3}| = 4\sqrt{3} - 7$ $2\sqrt{3} = \sqrt{4*3} = \sqrt{12}$. Так как $\sqrt{12} < \sqrt{16} = 4$, то $2\sqrt{3} < 4$, значит, $4 - 2\sqrt{3} > 0$ и $|4-2\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$ Теперь подставим это в наше выражение: $(4\sqrt{3} - 7) - (4 - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 7 - 4 + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 11$ Получили $6\sqrt{3} - 11$. Это иррациональное число, так как содержит корень из 3. *Перевод: We got $6\sqrt{3} - 11$. This is an irrational number since it contains the square root of 3.* б) $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2}$ $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}| + |37-12\sqrt{7}|$ $12\sqrt{7} = \sqrt{144*7} = \sqrt{1008}$. Так как $\sqrt{1008} > \sqrt{1369} = 37$, то $12\sqrt{7} > 37$, значит, $37 - 12\sqrt{7} < 0$ и $|37-12\sqrt{7}| = 12\sqrt{7} - 37$ $37 + 12\sqrt{7} > 0$, значит, $|37+12\sqrt{7}| = 37 + 12\sqrt{7}$ Подставим это в наше выражение: $37 + 12\sqrt{7} + 12\sqrt{7} - 37 = 24\sqrt{7}$ Получили $24\sqrt{7}$. Это иррациональное число, так как содержит корень из 7. *Перевод: We got $24\sqrt{7}$. This is an irrational number since it contains the square root of 7.*