Реши примеры и уравнения из варианта 1

1. a) Чтобы найти значение выражения $2.4 \cdot (-1\frac{1}{3})$, нужно сначала превратить смешанное число $-1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$. Теперь умножаем: $2.4 \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{24}{10} \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{5} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{32}{15} = -2\frac{2}{15}$. б) $(4.75 - 8.2) : (-0.01)$. Сначала вычтем в скобках: $4.75 - 8.2 = -3.45$. Теперь делим: $-3.45 : (-0.01) = 345$. в) $2.56 \cdot (-40.5) - 6.38$. Сначала умножаем: $2.56 \cdot (-40.5) = -103.68$. Теперь вычитаем: $-103.68 - 6.38 = -110.06$. г) $14.07 : 3.5 + [(3.36 + \frac{3}{8} - 3.36 - 0.125) : \frac{1}{4} \cdot 0.8 - 0.072] \cdot (5.8 + 4\frac{1}{5})$. Сначала упростим выражение в квадратных скобках: $3.36 + \frac{3}{8} - 3.36 - 0.125 = \frac{3}{8} - 0.125 = 0.375 - 0.125 = 0.25$. Затем $0.25 : \frac{1}{4} = 0.25 \cdot 4 = 1$. Далее $1 \cdot 0.8 - 0.072 = 0.8 - 0.072 = 0.728$. Теперь упростим выражение в круглых скобках: $5.8 + 4\frac{1}{5} = 5.8 + 4.2 = 10$. Теперь вернемся к исходному выражению: $14.07 : 3.5 + 0.728 \cdot 10 = 4.02 + 7.28 = 11.3$. 2. a) Решим уравнение: $2.4 + \frac{3}{5}x = 1\frac{1}{15}x + 1.56$. Для начала, переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{15} = \frac{16}{15}$. Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа - в другую: $\frac{3}{5}x - \frac{16}{15}x = 1.56 - 2.4$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{9}{15}x - \frac{16}{15}x = -0.84$. Упростим: $-\frac{7}{15}x = -0.84$. Теперь найдем $x$: $x = -0.84 : (-\frac{7}{15}) = 0.84 \cdot \frac{15}{7} = 0.12 \cdot 15 = 1.8$. б) Решим уравнение: $5(y + 2) = 9y - 6(y - 1)$. Раскроем скобки: $5y + 10 = 9y - 6y + 6$. Упростим: $5y + 10 = 3y + 6$. Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а числа - в другую: $5y - 3y = 6 - 10$. Упростим: $2y = -4$. Теперь найдем $y$: $y = -4 : 2 = -2$. 3. Допущение: Первое число составляет 15% от суммы *трёх чисел*, а не только от второго. Пусть первое число $a$, второе число $b$, третье число $c$. Тогда $a + b + c = 80$. Из условия: $a = 0.15 \cdot 80 = 12$. Также известно, что $a = 0.4b$, значит $12 = 0.4b$, откуда $b = 12 : 0.4 = 30$. Теперь найдем $c$: $12 + 30 + c = 80$, значит $c = 80 - 42 = 38$. Среднее арифметическое первого и третьего чисел: $\frac{12 + 38}{2} = \frac{50}{2} = 25$. 4. Допущение: Велосипедист и пешеход двигались навстречу друг другу. Расстояние между деревней и станцией 2 км 400 м = 2400 м. Время в пути 15 мин = 0.25 часа. Скорость пешехода 6 км/ч. Значит, пешеход прошел $6 \cdot 0.25 = 1.5$ км = 1500 м. Тогда велосипедист проехал $2400 - 1500 = 900$ м = 0.9 км. Скорость велосипедиста $0.9 : 0.25 = 3.6$ км/ч. 5. Допущение: Изначально стороны прямоугольника были $a$ и $9a$. Периметр прямоугольника $P = 2(a + 9a) = 20a$. После изменений стороны стали $2a$ и $\frac{9a}{3} = 3a$. Новый периметр $P' = 2(2a + 3a) = 10a$. Значит, периметр уменьшился в $\frac{20a}{10a} = 2$ раза. 6. a) $\exists n \in N: 3n - 7 = 19$. Это значит, существует натуральное число $n$, для которого $3n - 7 = 19$. Решим это уравнение: $3n = 19 + 7 = 26$, $n = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$. Но $8\frac{2}{3}$ не является натуральным числом, поэтому высказывание ложно. Отрицание: $\forall n \in N: 3n - 7 \neq 19$. б) $\forall a, b \in R: a + b = b + a$ ($R$ - множество всех чисел). Это утверждение истинно, так как от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Отрицание: $\exists a, b \in R: a + b \neq b + a$. в) $\exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 5$. Это значит, что существуют такие натуральные числа $c$ и $d$, что $c^2 + d^2 = 5$. Проверим варианты: если $c = 1$, то $d^2 = 5 - 1 = 4$, значит $d = 2$. Итак, $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Высказывание истинно. Отрицание: $\forall c, d \in N: c^2 + d^2 \neq 5$. г) $\forall x, y \in N: x + 1 > y - 1$. Это значит, что для любых натуральных чисел $x$ и $y$ выполняется $x + 1 > y - 1$. Это неверно, например, если $x = 1$, а $y = 3$, то $1 + 1 > 3 - 1$ не выполняется, так как $2 \ngtr 2$. Высказывание ложно. Отрицание: $\exists x, y \in N: x + 1 \le y - 1$.