Реши биквадратное уравнение $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Конечно, я помогу тебе решить биквадратные уравнения! Это уравнения, где есть переменная в четвертой степени, но их можно свести к обычным квадратным. а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ * Делаем замену: $t = x^2$, тогда уравнение становится $t^2 - 5t - 36 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: находим дискриминант $D = (-5)^2 - 4*(-36) = 25 + 144 = 169$, а затем корни $t_1 = (5 + \sqrt{169})/2 = (5 + 13)/2 = 9$ и $t_2 = (5 - \sqrt{169})/2 = (5 - 13)/2 = -4$. * Возвращаемся к замене: $x^2 = 9$ и $x^2 = -4$. Из первого уравнения получаем $x = \pm 3$, а второе уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. * **Ответ: $x = -3, 3$** б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$ * Замена: $t = y^2$, уравнение становится $t^2 - 6t + 8 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4*8 = 36 - 32 = 4$, корни $t_1 = (6 + \sqrt{4})/2 = (6 + 2)/2 = 4$ и $t_2 = (6 - \sqrt{4})/2 = (6 - 2)/2 = 2$. * Возвращаемся к замене: $y^2 = 4$ и $y^2 = 2$. Отсюда $y = \pm 2$ и $y = \pm \sqrt{2}$. * **Ответ: $y = -2, 2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}$** в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$ * Замена: $x = t^2$, уравнение становится $x^2 + 10x + 25 = 0$. * Это полный квадрат: $(x + 5)^2 = 0$, значит, $x = -5$. * Возвращаемся к замене: $t^2 = -5$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. * **Ответ: нет действительных решений** г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ * Замена: $t = x^2$, уравнение становится $4t^2 - 5t + 1 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4*4*1 = 25 - 16 = 9$, корни $t_1 = (5 + \sqrt{9})/(2*4) = (5 + 3)/8 = 1$ и $t_2 = (5 - \sqrt{9})/(2*4) = (5 - 3)/8 = 1/4$. * Возвращаемся к замене: $x^2 = 1$ и $x^2 = 1/4$. Отсюда $x = \pm 1$ и $x = \pm 1/2$. * **Ответ: $x = -1, 1, -1/2, 1/2$** д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$ * Замена: $t = x^2$, уравнение становится $9t^2 - 9t + 2 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $D = (-9)^2 - 4*9*2 = 81 - 72 = 9$, корни $t_1 = (9 + \sqrt{9})/(2*9) = (9 + 3)/18 = 2/3$ и $t_2 = (9 - \sqrt{9})/(2*9) = (9 - 3)/18 = 1/3$. * Возвращаемся к замене: $x^2 = 2/3$ и $x^2 = 1/3$. Отсюда $x = \pm \sqrt{2/3}$ и $x = \pm \sqrt{1/3}$. * **Ответ: $x = -\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3}, -\sqrt{1/3}, \sqrt{1/3}$** е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$ * Замена: $t = y^2$, уравнение становится $16t^2 - 8t + 1 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4*16*1 = 64 - 64 = 0$, корень $t = 8/(2*16) = 1/4$. * Возвращаемся к замене: $y^2 = 1/4$. Отсюда $y = \pm 1/2$. * **Ответ: $y = -1/2, 1/2$**