Выясни, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если b₁ = 40, b₂ = -20

Для того, чтобы выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, нужно проверить выполнение двух условий: 1. Прогрессия должна быть геометрической, то есть каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии). 2. Модуль знаменателя прогрессии должен быть меньше 1 ($\left| q \right| < 1$). Рассмотрим каждый случай: 1) Дано $b_1 = 40$, $b_2 = -20$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$. Так как $\left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} < 1$, то прогрессия является бесконечно убывающей. 2) Дано $b_7 = 12$, $b_{11} = \frac{3}{4}$. Чтобы найти знаменатель, можно воспользоваться формулой $b_{11} = b_7 \cdot q^{11-7}$, то есть $\frac{3}{4} = 12 \cdot q^4$. Отсюда $q^4 = \frac{3}{4} : 12 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{16}$. Значит, $q = \pm \frac{1}{2}$. В обоих случаях $\left| q \right| < 1$, поэтому прогрессия является бесконечно убывающей. 3) Дано $b_1 = -30$, $b_6 = 15$. Используем формулу $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$, то есть $15 = -30 \cdot q^5$. Отсюда $q^5 = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$. Значит, $q = \sqrt[5]{-\frac{1}{2}} \approx -0,87$. Так как $\left| -0,87 \right| < 1$, то прогрессия является бесконечно убывающей. 4) Дано $b_5 = 9$, $b_{10} = -\frac{1}{27}$. Используем формулу $b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5}$, то есть $-\frac{1}{27} = 9 \cdot q^5$. Отсюда $q^5 = -\frac{1}{27} : 9 = -\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{1}{243}$. Значит, $q = \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} = -\frac{1}{3}$. Так как $\left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3} < 1$, то прогрессия является бесконечно убывающей. **Ответ:** Во всех случаях прогрессия является бесконечно убывающей.