Можешь доказать тождество: (x²/y² + y/x) : (x/y² - 1/y + 1/x) = x + y

Конечно, сейчас помогу! Давай докажем эти тождества. Будем упрощать левую часть каждого равенства, чтобы она стала похожа на правую. a) $\left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = x + y$ Преобразуем выражение в первой скобке: $$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2}$$ Преобразуем выражение во второй скобке: $$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2}$$ Теперь разделим первую скобку на вторую: $$\frac{x^3 + y^3}{xy^2} : \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2 - xy + y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$$ Вспомним формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Тогда: $$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2} = x + y$$ Всё получилось! Левая часть равна правой, значит, тождество доказано. б) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2\right) : \left(1 + \frac{y}{x}\right) = \frac{x}{x-y}$ Преобразуем выражение в первой скобке: $$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$$ Преобразуем выражение во второй скобке: $$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x - y)^2}{xy}$$ Преобразуем выражение в третьей скобке: $$1 + \frac{y}{x} = \frac{x + y}{x}$$ Теперь выполним деление последовательно: $$\frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{(x - y)^2}{xy} : \frac{x + y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{(x - y)^2} \cdot \frac{x}{x + y}$$ Вспомним формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Тогда: $$\frac{(x - y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x - y)^2} \cdot \frac{x}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y) \cdot xy \cdot x}{xy \cdot (x - y)^2 \cdot (x + y)} = \frac{x}{x - y}$$ И снова всё получилось! Левая часть равна правой, тождество доказано.