Можешь помочь доказать тождество: (2a + b)³ - (a - b)²(8a + b) = 27a²b?

Конечно, сейчас помогу доказать тождества! Это как доказать, что левая часть уравнения равна правой, используя алгебраические преобразования. Давай по порядку: 1) $(2a + b)^3 - (a - b)^2(8a + b) = 27a^2b$ Раскроем скобки и упростим выражение: * $(2a + b)^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$ * $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * $(a - b)^2(8a + b) = (a^2 - 2ab + b^2)(8a + b) = 8a^3 - 16a^2b + 8ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 = 8a^3 - 15a^2b + 6ab^2 + b^3$ Теперь подставим это в исходное уравнение: $$8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 - (8a^3 - 15a^2b + 6ab^2 + b^3) =$$ $$8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 - 8a^3 + 15a^2b - 6ab^2 - b^3 = 27a^2b$$ Получили $27a^2b = 27a^2b$, что и требовалось доказать. 2) $(a - 2b)^3 - (a + b)^2(a - 8b) = 27ab^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: * $(a - 2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$ * $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * $(a + b)^2(a - 8b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a - 8b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 - 8a^2b - 16ab^2 - 8b^3 = a^3 - 6a^2b - 15ab^2 - 8b^3$ Теперь подставим это в исходное уравнение: $$a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - (a^3 - 6a^2b - 15ab^2 - 8b^3) =$$ $$a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - a^3 + 6a^2b + 15ab^2 + 8b^3 = 27ab^2$$ Получили $27ab^2 = 27ab^2$, что и требовалось доказать. 3) $(5x + y)^3 - y(5x - y)^2 - 25x(x + y)^2 = 100x^3$ Раскроем скобки и упростим выражение: * $(5x + y)^3 = 125x^3 + 75x^2y + 15xy^2 + y^3$ * $(5x - y)^2 = 25x^2 - 10xy + y^2$ * $y(5x - y)^2 = y(25x^2 - 10xy + y^2) = 25x^2y - 10xy^2 + y^3$ * $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ * $25x(x + y)^2 = 25x(x^2 + 2xy + y^2) = 25x^3 + 50x^2y + 25xy^2$ Теперь подставим это в исходное уравнение: $$125x^3 + 75x^2y + 15xy^2 + y^3 - (25x^2y - 10xy^2 + y^3) - (25x^3 + 50x^2y + 25xy^2) =$$ $$125x^3 + 75x^2y + 15xy^2 + y^3 - 25x^2y + 10xy^2 - y^3 - 25x^3 - 50x^2y - 25xy^2 = 100x^3$$ Получили $100x^3 = 100x^3$, что и требовалось доказать. 4) $5(x - y)^3 + 5y(x + y)^2 - x(x - 5y)^2 = 4x^3$ Раскроем скобки и упростим выражение: * $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ * $5(x - y)^3 = 5x^3 - 15x^2y + 15xy^2 - 5y^3$ * $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ * $5y(x + y)^2 = 5y(x^2 + 2xy + y^2) = 5x^2y + 10xy^2 + 5y^3$ * $(x - 5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$ * $x(x - 5y)^2 = x(x^2 - 10xy + 25y^2) = x^3 - 10x^2y + 25xy^2$ Теперь подставим это в исходное уравнение: $$5x^3 - 15x^2y + 15xy^2 - 5y^3 + 5x^2y + 10xy^2 + 5y^3 - (x^3 - 10x^2y + 25xy^2) =$$ $$5x^3 - 15x^2y + 15xy^2 - 5y^3 + 5x^2y + 10xy^2 + 5y^3 - x^3 + 10x^2y - 25xy^2 = 4x^3$$ Получили $4x^3 = 4x^3$, что и требовалось доказать. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как доказывать тождества! Если что, спрашивай ещё!