Проверь, что функция F является первообразной для функции f, если F(x) = sinx - x cos x, f (x) = x sin x

Привет! Давай разберемся с этими заданиями на первообразные. По сути, тебе нужно проверить, что производная от $F(x)$ равна $f(x)$. Если это так, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. И еще найти общий вид первообразных, то есть добавить константу $C$. a) Нужно проверить, что производная от $F(x) = \sin x - x \cos x$ равна $f(x) = x \sin x$. Давай найдем производную $F(x)$: $$(F(x))' = (\sin x - x \cos x)' = \cos x - (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$$ Так как $(F(x))' = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Общий вид первообразной: $\sin x - x \cos x + C$. б) Проверим, что производная от $F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ равна $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$: $$(F(x))' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ Так как $(F(x))' = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Общий вид первообразной: $\sqrt{x^2 + 1} + C$. в) Проверим, что производная от $F(x) = \cos x + x \sin x$ равна $f(x) = x \cos x$: $$(F(x))' = (\cos x + x \sin x)' = -\sin x + (1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x) = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$$ Так как $(F(x))' = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Общий вид первообразной: $\cos x + x \sin x + C$. г) Проверим, что производная от $F(x) = x - \frac{1}{x}$ равна $f(x) = \frac{1 + x^2}{x^2}$: $$(F(x))' = (x - \frac{1}{x})' = 1 - (-\frac{1}{x^2}) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} = \frac{1 + x^2}{x^2}$$ Так как $(F(x))' = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Общий вид первообразной: $x - \frac{1}{x} + C$. В каждом случае мы нашли производную от $F(x)$ и убедились, что она равна $f(x)$. А затем добавили константу $C$, чтобы показать общий вид первообразной.