Помоги мне найти f'(1) для функций из заданий 168 и 169

Конечно, давай помогу! Тебе нужно найти производную $f'(1)$ для каждой из функций. Это значит, что сначала нужно найти производную функции $f(x)$, а потом подставить $x = 1$ в эту производную. **168. 1)** $f(x) = (2x - 3)^2(x - 1)$ Сначала найдем производную $f'(x)$, используя правило произведения: $f'(x) = [(2x - 3)^2]' * (x - 1) + (2x - 3)^2 * (x - 1)'$ $f'(x) = 2 * (2x - 3) * 2 * (x - 1) + (2x - 3)^2 * 1$ $f'(x) = 4(2x - 3)(x - 1) + (2x - 3)^2$ Теперь подставим $x = 1$: $f'(1) = 4(2*1 - 3)(1 - 1) + (2*1 - 3)^2$ $f'(1) = 4(-1)(0) + (-1)^2$ $f'(1) = 0 + 1 = 1$ **Ответ: $f'(1) = 1$** **168. 2)** $f(x) = (x + 1)^3 (x + 2)$ Применим правило произведения: $f'(x) = u'v + uv'$, где $u = (x + 1)^3$ и $v = (x + 2)$. Тогда $u' = 3(x + 1)^2$ и $v' = 1$. $f'(x) = 3(x + 1)^2 (x + 2) + (x + 1)^3 * 1$ Подставим $x = 1$: $f'(1) = 3(1 + 1)^2 (1 + 2) + (1 + 1)^3$ $f'(1) = 3 * 4 * 3 + 8 = 36 + 8 = 44$ **Ответ: $f'(1) = 44$** **169. 1)** $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ Для нахождения производной используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u = 2x - 1$ и $v = 2x + 1$. Тогда $u' = 2$ и $v' = 2$. $f'(x) = \frac{2(2x + 1) - (2x - 1)2}{(2x + 1)^2} = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$ Подставим $x = 1$: $f'(1) = \frac{4}{(2*1 + 1)^2} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$ **Ответ: $f'(1) = \frac{4}{9}$** **169. 2)** $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u = x^2 - 1$ и $v = x^2 + 1$. Тогда $u' = 2x$ и $v' = 2x$. $f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$ Подставим $x = 1$: $f'(1) = \frac{4*1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$ **Ответ: $f'(1) = 1$** **169. 3)** $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$ Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u = 2x - 3$ и $v = 5 - 4x$. Тогда $u' = 2$ и $v' = -4$. $f'(x) = \frac{2(5 - 4x) - (2x - 3)(-4)}{(5 - 4x)^2} = \frac{10 - 8x + 8x - 12}{(5 - 4x)^2} = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$ Подставим $x = 1$: $f'(1) = \frac{-2}{(5 - 4*1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2$ **Ответ: $f'(1) = -2$** **169. 4)** $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$ Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u = 2x^2$ и $v = 1 - 7x$. Тогда $u' = 4x$ и $v' = -7$. $f'(x) = \frac{4x(1 - 7x) - (2x^2)(-7)}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$ Подставим $x = 1$: $f'(1) = \frac{4*1 - 14*1^2}{(1 - 7*1)^2} = \frac{4 - 14}{(-6)^2} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18}$ **Ответ: $f'(1) = -\frac{5}{18}$**