Реши уравнения: 1) logs x = 2 log5 3 + 4 log25 2

1) Давай решим уравнение $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2$. Сначала упростим правую часть, используя свойства логарифмов: $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2 = \log_5 3^2 + \log_{5} 2^2 = \log_5 9 + \log_5 4$ Теперь объединим логарифмы: $\log_5 x = \log_5 (9 \cdot 4) = \log_5 36$ Так как логарифмы равны, то и аргументы равны: $x = 36$ **Ответ: x = 36** 2) Давай решим уравнение $\log_2 x - 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9$. Сначала упростим второй логарифм. Заметим, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, поэтому $\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x$. Теперь перепишем уравнение: $\log_2 x - 2(-\log_2 x) = 9$ $\log_2 x + 2\log_2 x = 9$ $3\log_2 x = 9$ $\log_2 x = 3$ Теперь найдем x: $x = 2^3 = 8$ **Ответ: x = 8** 3) Давай решим уравнение $\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4$. Сначала упростим логарифмы. Заметим, что $27 = 3^3$, поэтому $\log_{27} 8 = \frac{1}{3} \log_3 8$. Также $4 = 2^2$, поэтому $\log_3 4 = 2 \log_3 2$. Теперь перепишем уравнение: $\log_3 x = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 - 3 \cdot 2 \log_3 2$ $\log_3 x = 3 \log_3 8 - 6 \log_3 2$ $\log_3 x = \log_3 8^3 - \log_3 2^6$ $\log_3 x = \log_3 512 - \log_3 64$ $\log_3 x = \log_3 \frac{512}{64} = \log_3 8$ Так как логарифмы равны, то и аргументы равны: $x = 8$ **Ответ: x = 8** 4) Давай решим уравнение $\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3$. Сначала упростим логарифмы. Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому $\log_9 x^2 = \frac{2}{2} \log_3 x = \log_3 x$. Также $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, поэтому $\log_{\sqrt{3}} x = 2 \log_3 x$. Теперь перепишем уравнение: $\log_3 x + 2 \log_3 x = 3$ $3 \log_3 x = 3$ $\log_3 x = 1$ Теперь найдем x: $x = 3^1 = 3$ **Ответ: x = 3** 5) Давай решим уравнение $\log_2 x + \log_8 x = 8$. Сначала упростим логарифмы. Заметим, что $8 = 2^3$, поэтому $\log_8 x = \frac{1}{3} \log_2 x$. Теперь перепишем уравнение: $\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 8$ $\frac{4}{3} \log_2 x = 8$ $\log_2 x = 6$ Теперь найдем x: $x = 2^6 = 64$ **Ответ: x = 64** 6) Давай решим уравнение $\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}$. Сначала упростим логарифмы. Заметим, что $16 = 4^2$, поэтому $\log_{16} x = \frac{1}{2} \log_4 x$. Теперь перепишем уравнение: $\log_4 x - \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$ $\log_4 x = \frac{1}{2}$ Теперь найдем x: $x = 4^{\frac{1}{2}} = 2$ **Ответ: x = 2**