Докажи, что если двузначное число n такое, что число n + 10 факториал простое, то число n тоже простое

Давай попробуем доказать, что если $n + 10!$ — простое число, то и $n$ — тоже простое. **Доказательство от противного** Предположим, что $n$ — составное число. Это значит, что $n$ можно представить в виде произведения двух чисел $a$ и $b$, где $1 < a, b < n$. То есть, $n = a \cdot b$. Теперь рассмотрим число $n + 10!$. Мы хотим показать, что если $n$ составное, то и $n + 10!$ тоже будет составным. Заметим, что $10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3628800$. Это значит, что $10!$ делится на все числа от 1 до 10. Если $n$ составное, то у него есть делитель $a$, где $1 < a < n$. Если $a \le 10$, то $10!$ делится на $a$. В этом случае и $n$, и $10!$ делятся на $a$, значит, и их сумма $n + 10!$ тоже делится на $a$. Это означает, что $n + 10!$ — составное число. Если же $a > 10$, то рассмотрим два случая: 1. Если $a = n$, то $n + 10!$ делится на $n$, и, следовательно, является составным числом. 2. Если $a < n$, то так как $n$ — двузначное число, то $a$ не может быть больше 10. Значит, этот случай невозможен. Таким образом, если $n$ — составное число, то $n + 10!$ тоже составное. Это противоречит условию, что $n + 10!$ — простое число. Следовательно, наше предположение о том, что $n$ составное, неверно. Значит, $n$ — простое число. **Вывод** Если $n + 10!$ — простое число и $n$ — двузначное число, то $n$ обязательно является простым числом.