Ты просишь упростить выражение $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}}$

Сначала упростим каждое выражение под корнем. Попробуем представить $43 + 30\sqrt{2}$ как $(a + b\sqrt{2})^2$ и $43 - 30\sqrt{2}$ как $(a - b\sqrt{2})^2$. Тогда: $$(a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = (a^2 + 2b^2) + 2ab\sqrt{2}$$ Сравнивая с $43 + 30\sqrt{2}$, получаем систему уравнений: $$\begin{cases} a^2 + 2b^2 = 43 \\ 2ab = 30 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $a = \frac{15}{b}$ и подставим в первое уравнение: $$(\frac{15}{b})^2 + 2b^2 = 43$$ $$\frac{225}{b^2} + 2b^2 = 43$$ $$225 + 2b^4 = 43b^2$$ $$2b^4 - 43b^2 + 225 = 0$$ Введём замену $x = b^2$, тогда уравнение примет вид: $$2x^2 - 43x + 225 = 0$$ Решим это квадратное уравнение: $$D = (-43)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 225 = 1849 - 1800 = 49$$ $$x_1 = \frac{43 + \sqrt{49}}{4} = \frac{43 + 7}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$$ $$x_2 = \frac{43 - \sqrt{49}}{4} = \frac{43 - 7}{4} = \frac{36}{4} = 9$$ Тогда $b^2 = 9$ или $b^2 = \frac{25}{2}$. Если $b^2 = 9$, то $b = 3$. Тогда $a = \frac{15}{3} = 5$. Проверим: $5^2 + 2 \cdot 3^2 = 25 + 18 = 43$, и $2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$. Подходит! Значит, $43 + 30\sqrt{2} = (5 + 3\sqrt{2})^2$ и $43 - 30\sqrt{2} = (5 - 3\sqrt{2})^2$. Теперь можем упростить исходное выражение: $$\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2}$$ Так как $5 > 3\sqrt{2}$ (потому что $25 > 9 \cdot 2 = 18$), то $5 - 3\sqrt{2} > 0$. Тогда: $$|5 + 3\sqrt{2}| + |5 - 3\sqrt{2}| = 5 + 3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} = 10$$ **Ответ: 10**