Помоги решить задания 14а, 15, 16 и 17b, 17c, 17d

14. a) Чтобы решить неравенство $-x^2 + 4x - 3 > 0$, сначала найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 4x - 3 = 0$.\ Умножим обе части на -1: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна 4, произведение равно 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Теперь определим интервалы, где неравенство положительно. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, парабола направлена ветвями вниз. Значит, неравенство выполняется между корнями. Решение: $1 < x < 3$. b) Решаем неравенство $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$. Корни уравнения $-x^2 + 4x - 3 = 0$ те же: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое. Решение: $1 \leq x \leq 3$. c) Решаем неравенство $-x^2 + 4x - 3 < 0$. Корни уравнения $-x^2 + 4x - 3 = 0$ те же: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется вне корней, так как парабола направлена ветвями вниз. Решение: $x < 1$ или $x > 3$. d) Решаем неравенство $-x^2 + 4x - 3 \leq 0$. Корни уравнения $-x^2 + 4x - 3 = 0$ те же: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется вне корней, включая сами корни, так как неравенство нестрогое. Решение: $x \leq 1$ или $x \geq 3$. 15. Квадратное уравнение $ax^2 + 2ax + 4 = 0$ не имеет корней, если его дискриминант отрицателен. Дискриминант $D = (2a)^2 - 4 \cdot a \cdot 4 = 4a^2 - 16a$. Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы $D < 0$, то есть $4a^2 - 16a < 0$. Вынесем общий множитель: $4a(a - 4) < 0$. Найдем корни уравнения $4a(a - 4) = 0$: $a_1 = 0$ и $a_2 = 4$. Определим интервалы, где неравенство выполняется. Это интервал между корнями. Решение: $0 < a < 4$. 16. Решим неравенство $(x-1)^2(x^2-2) < (x-1)^2(6-2x)$. Перенесем все в одну сторону: $(x-1)^2(x^2-2) - (x-1)^2(6-2x) < 0$. Вынесем $(x-1)^2$ за скобки: $(x-1)^2(x^2-2 - (6-2x)) < 0$. Упростим выражение в скобках: $(x-1)^2(x^2 + 2x - 8) < 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$. Тогда неравенство имеет вид: $(x-1)^2(x+4)(x-2) < 0$. $(x-1)^2$ всегда неотрицательно. Значит, $(x+4)(x-2) < 0$, при этом $x \neq 1$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Определим интервал, где неравенство выполняется: $-4 < x < 2$. Так как $x \neq 1$, то решением будет $-4 < x < 1$ или $1 < x < 2$. 17. Рассмотрим функцию $f(x) = (x-1)^4 (x+1)^3 x^2$. b) Найдем все $x$, при которых $f(x) \leq 0$. $(x-1)^4$ всегда неотрицательно. $x^2$ тоже всегда неотрицательно. Значит, знак функции определяется знаком $(x+1)^3$. $(x+1)^3 \leq 0$ при $x+1 \leq 0$, то есть $x \leq -1$. Кроме того, $f(x) = 0$ при $x = 1$, $x = -1$ и $x = 0$. Таким образом, $f(x) \leq 0$ при $x \leq -1$, а также при $x = 0$ и $x = 1$. c) Найдем все $x$, при которых $f(x) > 0$. Так как $(x-1)^4$ и $x^2$ всегда неотрицательны, знак функции определяется знаком $(x+1)^3$. $(x+1)^3 > 0$ при $x+1 > 0$, то есть $x > -1$. Но нужно исключить точки, где $f(x) = 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Решение: $x > -1$, $x \neq 0$, $x \neq 1$. d) Найдем все $x$, при которых $f(x) \geq 0$. Как и выше, $f(x) \geq 0$ при $x \geq -1$, включая точки, где $f(x) = 0$. Решение: $x \geq -1$.