Ты просишь доказать несколько неравенств: 1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$

18. Если числитель и знаменатель правильной дроби $\frac{a}{b}$ увеличить на одно и то же число, то дробь увеличится. Это происходит потому, что чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби, и наоборот. 19. Если числитель и знаменатель неправильной дроби $\frac{a}{b}$ увеличить на одно и то же число, то дробь уменьшится. Это происходит потому, что чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби, и наоборот. 20. Доказательство: Предположим, что $x$ - положительное число, тогда $\frac{1}{x}$ - взаимно обратное ему число. Нужно доказать, что $x + \frac{1}{x} \ge 2$. Преобразуем: $x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \ge 0$. Разложим на множители: $\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$. Так как $x > 0$, то $(x-1)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 21. Доказательство: Предположим, что $x$ - отрицательное число, тогда $\frac{1}{x}$ - взаимно обратное ему число. Нужно доказать, что $x + \frac{1}{x} \le -2$. Преобразуем: $x + \frac{1}{x} + 2 \le 0$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 + 2x + 1}{x} \le 0$. Разложим на множители: $\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$. Так как $x < 0$, то $(x+1)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, при делении на отрицательное число знак меняется, значит, утверждение верно. 22. 1) Да, выполняется. Так как $b^2 > 0$, то $a^2 + b^2 > a^2$. Следовательно, $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > \frac{a^2}{a^2 + 1} > 1$. 2) Да, выполняется. Так как $a^2 > 0$, то $-a^2 < 0$. Следовательно, $a^2 - b^2 > -b^2$. Тогда $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > \frac{-b^2}{b^2 + 1} > -1$. 23. 1) Доказательство: Нужно доказать, что $\frac{a^2}{a^4 + 1} \le \frac{1}{2}$. Преобразуем: $\frac{a^2}{a^4 + 1} - \frac{1}{2} \le 0$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{2a^2 - a^4 - 1}{2(a^4 + 1)} \le 0$. Разложим на множители: $\frac{-(a^2 - 1)^2}{2(a^4 + 1)} \le 0$. Так как $2(a^4 + 1) > 0$, то $-(a^2 - 1)^2 \le 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, с минусом - не больше нуля, следовательно, утверждение верно. 2) Доказательство: Нужно доказать, что $\frac{(5a + 1)^2}{5} \ge 4a$. Преобразуем: $\frac{25a^2 + 10a + 1}{5} \ge 4a$. Умножим обе части на 5: $25a^2 + 10a + 1 \ge 20a$. Перенесем все в одну сторону: $25a^2 - 10a + 1 \ge 0$. Разложим на множители: $(5a - 1)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 24. Доказательство: Так как $a < b$, то $a + a < a + b$ и $a + b < b + b$. Следовательно, $2a < a + b < 2b$. Разделим все части на 2: $a < \frac{a + b}{2} < b$. 25. Доказательство: Так как $a < b < c$, то $a + a + a < a + b + c < c + c + c$. Следовательно, $3a < a + b + c < 3c$. Разделим все части на 3: $a < \frac{a + b + c}{3} < c$. 26. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно проверить для всех значений $a$, а это бесконечное количество. Для доказательства можно попробовать использовать метод математической индукции. 27. Доказательство: Нужно доказать, что $\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2$. Умножим обе части на $\sqrt{a^2 + 1}$: $a^2 + 2 \ge 2\sqrt{a^2 + 1}$. Возведем обе части в квадрат: $(a^2 + 2)^2 \ge (2\sqrt{a^2 + 1})^2$. Раскроем скобки: $a^4 + 4a^2 + 4 \ge 4(a^2 + 1)$. $a^4 + 4a^2 + 4 \ge 4a^2 + 4$. $a^4 \ge 0$. Четвертая степень любого числа всегда неотрицательна, значит, утверждение верно. 28. 1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$. Преобразуем: $(a^2 + 6a + 9) + (b^2 - 4b + 4) \ge 0$. $(a + 3)^2 + (b - 2)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0$. Преобразуем: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 10y + 25) + 2 > 0$. $(x - 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, сумма квадратов плюс 2 всегда больше нуля, следовательно, утверждение верно. 3) $2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0$. Преобразуем: $m^2 - 6mn + 9n^2 + m^2 - 6m + 9 \ge 0$. $(m - 3n)^2 + (m - 3)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 4) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)$. Преобразуем: $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 4c + 4 \ge 0$. $(a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 5) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab$. Преобразуем: $a^2b^2 - 2ab + 1 + a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$. $(ab - 1)^2 + (a - b)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 29. 1) $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0$. Преобразуем: $(a^2 - 16a + 64) + (b^2 + 14b + 49) + 1 > 0$. $(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, сумма квадратов плюс 1 всегда больше нуля, следовательно, утверждение верно. 2) $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y$. Преобразуем: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) \ge 0$. $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно. 3) $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0$. Преобразуем: $c^2 + 4cd + 4d^2 + d^2 - 4d + 4 \ge 0$. $(c + 2d)^2 + (d - 2)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит, утверждение верно.