Реши неравенства интервальным методом: a) x²+5x-6>0

Конечно, давай решим эти неравенства! **6. Найдите длину отрезка на оси Ох, являющегося решением неравенства $2x^2 + 7x - 15 < 0$** Сначала решим неравенство $2x^2 + 7x - 15 < 0$. Для этого найдём корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 15 = 0$. Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$$ Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 13}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 13}{4} = \frac{-20}{4} = -5$$ Итак, корни уравнения: $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -5$. Теперь определим интервалы, на которых неравенство $2x^2 + 7x - 15 < 0$ выполняется. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется между корнями: $$-5 < x < 1.5$$ Длина отрезка на оси Ox, который является решением неравенства, равна разности между большим и меньшим корнем: $$Длина = 1.5 - (-5) = 1.5 + 5 = 6.5$$ **Ответ: 6.5** **7. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству $2x^2 + 7x - 15 < 0$?** Мы уже знаем, что решением неравенства является интервал $-5 < x < 1.5$. Теперь найдём все целые числа, которые входят в этот интервал. Это числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1. Подсчитаем количество этих чисел: их всего 6. **Ответ: 6** **8. Решите неравенства интервальным методом.** **a) $x^2 + 5x - 6 > 0$** Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. Для этого можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -5$$ $$x_1 \cdot x_2 = -6$$ Подходящие корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Теперь определим интервалы, на которых неравенство $x^2 + 5x - 6 > 0$ выполняется. Парабола направлена вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный), поэтому неравенство выполняется вне корней: $$x < -6 \quad \text{или} \quad x > 1$$ **Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (1, +\infty)$** **b) $-x^2 + x + 2 < 0$** Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным (не забываем изменить знак неравенства): $$x^2 - x - 2 > 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 1$$ $$x_1 \cdot x_2 = -2$$ Подходящие корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 2$$ **Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$** **c) $x^2 + 3x + 7 > 0$** Найдём дискриминант квадратного уравнения $x^2 + 3x + 7 = 0$: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$$ Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный) и не пересекает ось Ox. Значит, неравенство выполняется для всех $x$. **Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$** **d) $x^2 + 3x + 7 < 0$** Найдём дискриминант квадратного уравнения $x^2 + 3x + 7 = 0$: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$$ Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный) и не пересекает ось Ox. Значит, неравенство не выполняется ни для каких $x$. **Ответ: нет решений** **e) $-2x^2 + 5x + 3 > 0$** Умножим неравенство на -1: $$2x^2 - 5x - 3 < 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$ Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $$-0.5 < x < 3$$ **Ответ: $x \in (-0.5, 3)$** **f) $6x^2 - x - 2 < 0$** Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$$ Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -0.5$$ Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $$-0.5 < x < \frac{2}{3}$$ **Ответ: $x \in (-0.5, \frac{2}{3})$** **g) $2x^2 + 5x + 9 \le 0$** Найдём дискриминант квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 9 = 0$: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 25 - 72 = -47$$ Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный) и не пересекает ось Ox. Значит, неравенство не выполняется ни для каких $x$. **Ответ: нет решений**