Помоги мне решить задачи по геометрии: найди вписанный угол ABC, найди сторону правильного треугольника, под каким углом видна хорда AB и другие.

12. Длина всей окружности – это $360^\circ$. Длина дуги $AC$ составляет $\frac{11}{36}$ от окружности, значит, дуга $AC = \frac{11}{36} \cdot 360^\circ = 110^\circ$. Вписанный угол $ABC$ равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$. **Ответ: 55** 13. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника, связан со стороной $a$ треугольника формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В данном случае $R = \sqrt{3}$, значит, $\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Отсюда $a = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. **Ответ: 3** 14. Пусть вся окружность делится хордой $AB$ на дуги, градусные меры которых $5x$ и $7x$. Тогда $5x + 7x = 360^\circ$, откуда $12x = 360^\circ$ и $x = 30^\circ$. Меньшая дуга равна $5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. Угол, под которым видна хорда из точки $C$, опирается на бОльшую дугу (не на меньшую!). Этот угол вписанный и равен половине бОльшей дуги. БОльшая дуга равна $7x = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$. Значит, искомый угол равен $\frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ$. **Ответ: 105** 15. *Допущение: сторона $CA$ касается окружности в точке $A$*. Угол $CAO$ прямой, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle CAO = 90^\circ$. Тогда $\angle OAB = \angle CAO - \angle CAO = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$. Так как $OA = OB$ (как радиусы), то треугольник $OAB$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB = 62^\circ$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - 62^\circ - 62^\circ = 56^\circ$. Меньшая дуга $AB$ равна центральному углу, опирающемуся на неё. Значит, дуга $AB = 56^\circ$. **Ответ: 56** 16. *Допущение: основание равнобедренного треугольника равно 30*. Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a = 17$, а основание равно $b = 30$. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{2S}{a+b+c}$, где $S$ — площадь треугольника. Так как треугольник равнобедренный, высота $h$, проведённая к основанию, является и медианой. Тогда высота делит основание пополам и $h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$. Тогда радиус вписанной окружности $r = \frac{2 \cdot 120}{17+17+30} = \frac{240}{64} = 3,75$. **Ответ: 3,75**