Докажи, что при любых значениях a верно неравенство a³ < (a + 1)(a² – a + 1)

Question

Вопрос:

Докажи, что при любых значениях a верно неравенство a³ < (a + 1)(a² – a + 1)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Конечно, докажем эти неравенства! 1) $a^3 < (a + 1)(a^2 – a + 1)$ Раскроем скобки в правой части: $a^3 < a^3 + 1$ $0 < 1$ – это неравенство всегда верно. 2) $(a + 7)(a + 1) < (a + 2)(a + 6)$ Раскроем скобки с обеих сторон: $a^2 + 8a + 7 < a^2 + 8a + 12$ $7 < 12$ – это неравенство тоже всегда верно. 3) $1 + (3a + 1)^2 > (1 + 2a)(1 + 4a)$ Раскроем скобки: $1 + 9a^2 + 6a + 1 > 1 + 6a + 8a^2$ $9a^2 + 6a + 2 > 8a^2 + 6a + 1$ $a^2 + 1 > 0$ – это неравенство верно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и мы прибавляем к нему 1. 4) $(3a - 2)(a + 2) < (1 + 2a)^2$ Раскроем скобки: $3a^2 + 4a - 4 < 1 + 4a + 4a^2$ $0 < a^2 + 5$ – это неравенство всегда верно, потому что $a^2$ всегда неотрицателен, и мы прибавляем к нему 5.

Докажи, что при любых значениях a верно неравенство a³ &lt; (a + 1)(a² – a + 1)

Ответ ассистента

Другие решения

Докажи, что при любых значениях a верно неравенство a³ < (a + 1)(a² – a + 1)