Выбери выражение, равное √16-6√7

375 a) Давай упростим выражение $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. Мы хотим найти такое выражение, чтобы оно было равно $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. Для этого попробуем представить выражение под корнем в виде квадрата разности, то есть $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $16-6\sqrt{7}$ должно быть равно $a^2 - 2ab + b^2$. Заметим, что $6\sqrt{7}$ можно представить как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}$. Значит, $2ab = 6\sqrt{7}$, и мы можем предположить, что $a = 3$, а $b = \sqrt{7}$. Тогда проверим, чему равно $a^2 + b^2$: $3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$. Это как раз то, что нам нужно! Получается, что $16-6\sqrt{7} = (3 - \sqrt{7})^2$. Теперь возьмем корень из этого выражения: $$\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$$ Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $3 - \sqrt{7} > 0$, и модуль можно опустить: $$|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$$ **Правильный ответ: 3)** б) Упростим выражение $\sqrt{8-4\sqrt{3}}$. Представим выражение под корнем в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $8-4\sqrt{3}$ должно быть равно $a^2 - 2ab + b^2$. Заметим, что $4\sqrt{3}$ можно представить как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Значит, $2ab = 4\sqrt{3}$, и мы можем предположить, что $a = 2$, а $b = \sqrt{3}$. Тогда проверим, чему равно $a^2 + b^2$: $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Но у нас в выражении число 8, а не 7. Значит, нужно немного изменить числа $a$ и $b$. Заметим, что $4\sqrt{3}$ можно представить и как $2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{12}$. Тогда $2ab = 2\sqrt{12}$, значит, $a = \sqrt{6}$, а $b = \sqrt{2}$. Проверим: $(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$. Отлично! Получается, что $8-4\sqrt{3} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$. Теперь возьмем корень из этого выражения: $$\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{2}|$$ Так как $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, то модуль можно опустить: $$|\sqrt{6} - \sqrt{2}| = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$ **Правильный ответ: 3)** *Перевод:* *375 a) Let's simplify the expression $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. We want to find an expression that is equal to $\sqrt{16-6\sqrt{7}}$. To do this, let's try to represent the expression under the root as a square of the difference, that is, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. In our case, $16-6\sqrt{7}$ must be equal to $a^2 - 2ab + b^2$. Notice that $6\sqrt{7}$ can be represented as $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}$. So, $2ab = 6\sqrt{7}$, and we can assume that $a = 3$ and $b = \sqrt{7}$. Then let's check what $a^2 + b^2$ is equal to: $3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$. That's exactly what we need! It turns out that $16-6\sqrt{7} = (3 - \sqrt{7})^2$. Now let's take the root of this expression: $$\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$$ Since $\sqrt{7} \approx 2.65$, then $3 - \sqrt{7} > 0$, and the modulus can be omitted: $$|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$$ **Correct answer: 3)** b) Simplify the expression $\sqrt{8-4\sqrt{3}}$. Represent the expression under the root as a square of the difference $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. In our case, $8-4\sqrt{3}$ must be equal to $a^2 - 2ab + b^2$. Notice that $4\sqrt{3}$ can be represented as $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. So, $2ab = 4\sqrt{3}$, and we can assume that $a = 2$ and $b = \sqrt{3}$. Then let's check what $a^2 + b^2$ is equal to: $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. But in our expression the number is 8, not 7. So, you need to change the numbers $a$ and $b$ a little. Notice that $4\sqrt{3}$ can also be represented as $2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{12}$. Then $2ab = 2\sqrt{12}$, which means $a = \sqrt{6}$ and $b = \sqrt{2}$. Let's check: $(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$. Great! It turns out that $8-4\sqrt{3} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$. Now let's take the root of this expression: $$\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{2}|$$ Since $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, the modulus can be omitted: $$|\sqrt{6} - \sqrt{2}| = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$ **Correct answer: 3)**