Ты просишь исследовать данную функцию f(x) = x³ + 3x² и построить её график.

Конечно, давай исследуем функции и построим их графики. Это задание потребует довольно много вычислений, и я могу помочь тебе на каждом этапе. Для каждой функции нам нужно будет: 1. Найти область определения. 2. Вычислить первую производную и найти критические точки. 3. Определить промежутки возрастания и убывания функции. 4. Вычислить вторую производную и найти точки перегиба. 5. Определить промежутки выпуклости и вогнутости. 6. Найти асимптоты (если есть). 7. Найти точки пересечения с осями координат. 8. Построить график, используя все полученные данные. Из-за объёма вычислений, давай начнём с первой функции, а ты сможешь задавать вопросы по ходу дела! 1) $f(x) = x^3 + 3x^2$ * **Область определения:** Функция определена для всех действительных чисел, так что область определения — это $(-\infty;+\infty)$. * **Первая производная:** $$f'(x) = 3x^2 + 6x$$ * **Критические точки:** Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю: $$3x^2 + 6x = 0$$ $$3x(x + 2) = 0$$ $$x = 0, \quad x = -2$$ * **Промежутки возрастания и убывания:** Теперь определим знаки первой производной на промежутках, образованных критическими точками: * $(-\infty; -2)$: $f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$ (функция возрастает) * $(-2; 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$ (функция убывает) * $(0; +\infty)$: $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0$ (функция возрастает) * **Вторая производная:** $$f''(x) = 6x + 6$$ * **Точки перегиба:** Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю: $$6x + 6 = 0$$ $$x = -1$$ * **Промежутки выпуклости и вогнутости:** Теперь определим знаки второй производной на промежутках, образованных точкой перегиба: * $(-\infty; -1)$: $f''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0$ (функция выпукла вверх) * $(-1; +\infty)$: $f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$ (функция выпукла вниз) * **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $y$: $f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$, то есть точка $(0; 0)$. * С осью $x$: $x^3 + 3x^2 = 0$, $x^2(x + 3) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = -3$. Таким образом, точки $(-3; 0)$ и $(0; 0)$. * **График:** Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика. Функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(0; +\infty)$, убывает на $(-2; 0)$, имеет точку перегиба в $x = -1$, выпукла вверх на $(-\infty; -1)$ и выпукла вниз на $(-1; +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(-3; 0)$ и $(0; 0)$. Если тебе нужна помощь с построением графика или другими функциями, просто скажи!