Реши задания с графиками

Привет! Конечно, я помогу тебе решить эти задания. ### Задание 1467 1) Чтобы построить график функции $y = x^2 - 2x - 3$, нужно найти вершину параболы и несколько точек для построения. Вершина параболы находится по формуле $x_в = -b / (2a)$. В данном случае $a = 1$ и $b = -2$, поэтому $x_в = -(-2) / (2 * 1) = 1$. Подставляем $x_в$ в уравнение, чтобы найти $y_в$: $y_в = (1)^2 - 2*(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Итак, вершина параболы в точке $(1, -4)$. Чтобы найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$, нужно решить неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), функция будет меньше нуля между корнями. То есть, $y(x) < 0$ при $x \in (-1, 3)$. 2) Чтобы доказать, что функция возрастает на отрезке $[1; 4]$, нужно показать, что производная функции положительна на этом отрезке. Производная функции $y = x^2 - 2x - 3$ равна $y' = 2x - 2$. На отрезке $[1; 4]$ производная $y' = 2x - 2$ будет положительной, так как минимальное значение $x$ равно 1, и $y'(1) = 2 * 1 - 2 = 0$, а при увеличении $x$ производная будет только увеличиваться. Значит, функция возрастает на этом отрезке. 3) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, нужно найти вершину параболы. Как мы уже выяснили в первом пункте, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$. Значит, наименьшее значение функция принимает при $x = 1$. 4) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$, нужно решить неравенство $x^2 - 2x - 3 > -2x + 1$. Преобразуем неравенство: $x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 > 0$, $x^2 - 4 > 0$. Решаем уравнение $x^2 - 4 = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как парабола направлена вверх, функция будет больше нуля вне корней. То есть, $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. 5) Чтобы записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2, сначала найдем ординату этой точки: $y(2) = (2)^2 - 2*(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$. Итак, точка касания $(2, -3)$. Теперь найдем производную функции: $y' = 2x - 2$. В точке $x = 2$ производная равна $y'(2) = 2 * 2 - 2 = 2$. Это угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент. Подставляем известные значения: $-3 = 2 * 2 + b$, $-3 = 4 + b$, $b = -7$. Итак, уравнение касательной: $y = 2x - 7$. ### Задание 1468 1) Чтобы построить график функции $y = -2x^2 + 3x + 2$, нужно найти вершину параболы и несколько точек для построения. Вершина параболы находится по формуле $x_в = -b / (2a)$. В данном случае $a = -2$ и $b = 3$, поэтому $x_в = -3 / (2 * (-2)) = 3/4 = 0.75$. Подставляем $x_в$ в уравнение, чтобы найти $y_в$: $y_в = -2*(0.75)^2 + 3*(0.75) + 2 = -2 * 0.5625 + 2.25 + 2 = -1.125 + 2.25 + 2 = 3.125$. Итак, вершина параболы в точке $(0.75, 3.125)$. Чтобы найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$, нужно решить неравенство $-2x^2 + 3x + 2 < 0$. Сначала найдем корни уравнения $-2x^2 + 3x + 2 = 0$. Домножим на -1: $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Можно с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Корни: $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 2$. Так как парабола направлена вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), функция будет меньше нуля вне корней. То есть, $y(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -0.5) \cup (2, +\infty)$. 2) Чтобы доказать, что функция убывает на отрезке $[1; 2]$, нужно показать, что производная функции отрицательна на этом отрезке. Производная функции $y = -2x^2 + 3x + 2$ равна $y' = -4x + 3$. На отрезке $[1; 2]$ производная $y' = -4x + 3$ будет отрицательной, так как при $x = 1$, $y'(1) = -4 * 1 + 3 = -1$, а при увеличении $x$ производная будет только уменьшаться. Значит, функция убывает на этом отрезке. 3) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, нужно найти вершину параболы. Как мы уже выяснили в первом пункте, вершина параболы находится в точке $(0.75, 3.125)$. Значит, наибольшее значение функция принимает при $x = 0.75$. 4) Чтобы найти значения $x$, при которых график данной функции $y = -2x^2 + 3x + 2$ лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$, нужно решить неравенство $-2x^2 + 3x + 2 < 3x + 2$. Преобразуем неравенство: $-2x^2 < 0$, $2x^2 > 0$, $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 0$. То есть, $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. 5) Чтобы записать уравнения касательных к параболе $y = -2x^2 + 3x + 2$ в точках с ординатой, равной 3, сначала найдем абсциссы этих точек. Решаем уравнение $-2x^2 + 3x + 2 = 3$. $-2x^2 + 3x - 1 = 0$. Домножим на -1: $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Корни: $x_1 = 0.5$ и $x_2 = 1$. Итак, точки касания $(0.5, 3)$ и $(1, 3)$. Теперь найдем производную функции: $y' = -4x + 3$. В точке $x = 0.5$ производная равна $y'(0.5) = -4 * 0.5 + 3 = 1$. Это угловой коэффициент первой касательной. Уравнение касательной имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент. Подставляем известные значения: $3 = 1 * 0.5 + b$, $3 = 0.5 + b$, $b = 2.5$. Итак, уравнение первой касательной: $y = x + 2.5$. В точке $x = 1$ производная равна $y'(1) = -4 * 1 + 3 = -1$. Это угловой коэффициент второй касательной. Подставляем известные значения: $3 = -1 * 1 + b$, $3 = -1 + b$, $b = 4$. Итак, уравнение второй касательной: $y = -x + 4$. ### Задание 1469 1) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$, нужно решить уравнение $x^2 = x + 6$. Преобразуем уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Так как уравнение имеет два различных корня, графики функций пересекаются. 2) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = 3/x$ и $y = 4(x + 1)$, нужно решить уравнение $3/x = 4(x + 1)$. Преобразуем уравнение: $3 = 4x(x + 1)$, $3 = 4x^2 + 4x$, $4x^2 + 4x - 3 = 0$. Дискриминант: $D = 4^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64$. Корни: $x_1 = (-4 + 8) / 8 = 0.5$ и $x_2 = (-4 - 8) / 8 = -1.5$. Так как уравнение имеет два различных корня, графики функций пересекаются. 3) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = (1/8)x^2$ и $y = 1/x$, нужно решить уравнение $(1/8)x^2 = 1/x$. Преобразуем уравнение: $x^3 = 8$, $x = 2$. Так как уравнение имеет один корень, графики функций пересекаются. 4) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = 2x - 1$ и $y = 1/x$, нужно решить уравнение $2x - 1 = 1/x$. Преобразуем уравнение: $2x^2 - x = 1$, $2x^2 - x - 1 = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -0.5$. Так как уравнение имеет два различных корня, графики функций пересекаются.