Реши неравенство $\frac{2x-7}{4-x} > 0$

4. Решим неравенство $\frac{2x-7}{4-x} > 0$ Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения $x$, при которых дробь больше нуля. Дробь больше нуля, когда и числитель, и знаменатель одновременно положительны или одновременно отрицательны. 1) Числитель $2x - 7 > 0$. Тогда $2x > 7$, и $x > \frac{7}{2}$ или $x > 3,5$. 2) Знаменатель $4 - x > 0$. Тогда $4 > x$, или $x < 4$. 3) Числитель $2x - 7 < 0$. Тогда $2x < 7$, и $x < \frac{7}{2}$ или $x < 3,5$. 4) Знаменатель $4 - x < 0$. Тогда $4 < x$, или $x > 4$. Теперь рассмотрим эти случаи на числовой прямой: ----(3.5)----(4)---> X * $x > 3,5$ и $x < 4$. Это интервал $(3,5; 4)$. * $x < 3,5$ и $x > 4$. Таких $x$ нет. **Ответ: $x \in (3,5; 4)$** 5. Решим неравенство $x^2 - 36 \le 0$ Это квадратное неравенство. Сначала решим уравнение $x^2 - 36 = 0$. $x^2 = 36$ $x = \pm 6$ Теперь проверим знаки неравенства на интервалах: * $x < -6$, например, $x = -7$. Тогда $(-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0$. * $-6 < x < 6$, например, $x = 0$. Тогда $0^2 - 36 = -36 < 0$. * $x > 6$, например, $x = 7$. Тогда $7^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0$. Нам нужно $x^2 - 36 \le 0$, значит, подходит интервал $-6 \le x \le 6$. **Ответ: $x \in [-6; 6]$** 6. Решим неравенство $\frac{-18}{x^2 - 4x - 21} \le 0$ Дробь $\frac{-18}{x^2 - 4x - 21}$ будет меньше или равна нулю, когда знаменатель $x^2 - 4x - 21$ больше нуля (так как числитель отрицательный). Решим неравенство $x^2 - 4x - 21 > 0$. Сначала решим уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$ $x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7$ $x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3$ Теперь проверим знаки на интервалах: * $x < -3$, например, $x = -4$. Тогда $(-4)^2 - 4(-4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 > 0$. * $-3 < x < 7$, например, $x = 0$. Тогда $0^2 - 4(0) - 21 = -21 < 0$. * $x > 7$, например, $x = 8$. Тогда $8^2 - 4(8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11 > 0$. Нам нужно $x^2 - 4x - 21 > 0$, значит, подходят интервалы $x < -3$ и $x > 7$. **Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$** 7. Решим систему неравенств: $\begin{cases} (6x+2) - 6(x+2) > 2x \\ (x - 7)(x + 6) < 0 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $6x + 2 - 6x - 12 > 2x$ $-10 > 2x$ $x < -5$ Решим второе неравенство: $(x - 7)(x + 6) < 0$ Найдем корни уравнения $(x - 7)(x + 6) = 0$. $x = 7$ или $x = -6$ Теперь проверим знаки на интервалах: * $x < -6$, например, $x = -7$. Тогда $(-7 - 7)(-7 + 6) = (-14)(-1) = 14 > 0$. * $-6 < x < 7$, например, $x = 0$. Тогда $(0 - 7)(0 + 6) = (-7)(6) = -42 < 0$. * $x > 7$, например, $x = 8$. Тогда $(8 - 7)(8 + 6) = (1)(14) = 14 > 0$. Нам нужно $(x - 7)(x + 6) < 0$, значит, подходит интервал $-6 < x < 7$. Теперь объединим решения: $\begin{cases} x < -5 \\ -6 < x < 7 \end{cases}$ Значит, $-6 < x < -5$. **Ответ: $x \in (-6; -5)$** 8. Решим неравенство $\frac{x^2}{3} > \frac{8x - 9}{5}$ Чтобы решить это неравенство, перенесем все в одну сторону: $\frac{x^2}{3} - \frac{8x - 9}{5} > 0$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{5x^2 - 3(8x - 9)}{15} > 0$ $\frac{5x^2 - 24x + 27}{15} > 0$ Так как знаменатель положительный, решаем неравенство $5x^2 - 24x + 27 > 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 24x + 27 = 0$. $D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 576 - 540 = 36$ $x_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{24 + 6}{10} = 3$ $x_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{24 - 6}{10} = \frac{18}{10} = 1,8$ Теперь проверим знаки на интервалах: * $x < 1,8$, например, $x = 0$. Тогда $5(0)^2 - 24(0) + 27 = 27 > 0$. * $1,8 < x < 3$, например, $x = 2$. Тогда $5(2)^2 - 24(2) + 27 = 20 - 48 + 27 = -1 < 0$. * $x > 3$, например, $x = 4$. Тогда $5(4)^2 - 24(4) + 27 = 80 - 96 + 27 = 11 > 0$. Нам нужно $5x^2 - 24x + 27 > 0$, значит, подходят интервалы $x < 1,8$ и $x > 3$. **Ответ: $x \in (-\infty; 1,8) \cup (3; +\infty)$** 9. Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{24 - 3x}{8 + (5 - 2x)^2} \ge 0 \\ 22 - 9x \le 43 - 2x \end{cases}$ Решим первое неравенство. Знаменатель всегда положителен, так как $(5 - 2x)^2$ всегда неотрицателен, а к нему прибавляется 8. Значит, нужно решить неравенство $24 - 3x \ge 0$. $24 \ge 3x$ $8 \ge x$ $x \le 8$ Решим второе неравенство: $22 - 9x \le 43 - 2x$ $-9x + 2x \le 43 - 22$ $-7x \le 21$ $x \ge -3$ Теперь объединим решения: $\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -3 \end{cases}$ Значит, $-3 \le x \le 8$. **Ответ: $x \in [-3; 8]$** 10. Решим неравенство $(x - 5)^2 < \sqrt{7(x - 5)}$ Обозначим $y = x - 5$. Тогда неравенство примет вид: $y^2 < \sqrt{7y}$ Возведем обе части в квадрат (обе части неотрицательны): $y^4 < 7y$ $y^4 - 7y < 0$ $y(y^3 - 7) < 0$ Это неравенство выполняется, когда $y$ и $(y^3 - 7)$ имеют разные знаки. 1) $y > 0$ и $y^3 - 7 < 0$ $y > 0$ и $y^3 < 7$ $y > 0$ и $y < \sqrt[3]{7}$ Значит, $0 < y < \sqrt[3]{7}$ 2) $y < 0$ и $y^3 - 7 > 0$ $y < 0$ и $y^3 > 7$ $y < 0$ и $y > \sqrt[3]{7}$ Таких $y$ не существует. Итак, $0 < y < \sqrt[3]{7}$. Вспомним, что $y = x - 5$. Тогда: $0 < x - 5 < \sqrt[3]{7}$ $5 < x < 5 + \sqrt[3]{7}$ **Ответ: $x \in (5; 5 + \sqrt[3]{7})$**