Реши квадратное уравнение 5x² + 8x - 4 = 0

Вариант 2 Часть 1 1. Решаем квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 4 = 0$. Для начала, найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a = 5$, $b = 8$, $c = -4$. $$D = 8^2 - 4 eq 5 eq (-4) = 64 + 80 = 144$$ Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня. Находим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$ $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$ **Ответ:** $x_1 = 0.4$, $x_2 = -2$ 2. Решаем неравенство $9(x - 2) - 3(2x + 1) > 5x$. Сначала раскроем скобки: $$9x - 18 - 6x - 3 > 5x$$ Теперь упростим: $$3x - 21 > 5x$$ Перенесём $3x$ в правую часть: $$-21 > 2x$$ Разделим обе части на 2: $$x < -10.5$$ **Ответ:** $x < -10.5$ 3. Решаем систему неравенств: $$\begin{cases} 15 - x < 14 \\ 4 - 2x < 5 \end{cases}$$ Решим первое неравенство: $$15 - x < 14 \Rightarrow -x < -1 \Rightarrow x > 1$$ Решим второе неравенство: $$4 - 2x < 5 \Rightarrow -2x < 1 \Rightarrow x > -0.5$$ Так как оба неравенства должны выполняться, выбираем большее значение для $x$: **Ответ:** $x > 1$ 4. Упрощаем выражение $\frac{4\sqrt{3} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$. Сначала упростим $\sqrt{27}$: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ Теперь подставим в исходное выражение: $$\frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 7$$ **Ответ:** 7 5. Упрощаем выражение $(x^{-5})^{-7} \cdot x^{-29}$. Сначала разберёмся с первой частью, используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$: $$(x^{-5})^{-7} = x^{(-5) \cdot (-7)} = x^{35}$$ Теперь умножим на $x^{-29}$, используя свойство $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$: $$x^{35} \cdot x^{-29} = x^{35 + (-29)} = x^6$$ **Ответ:** $x^6$ 6. Вычисляем $\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-7}}$. Представим все числа как степени тройки: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-7}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-21}}$$ Теперь упростим, используя свойства степеней: $$\frac{3^{-17}}{3^{-21}} = 3^{-17 - (-21)} = 3^4 = 81$$ **Ответ:** 81 Часть 2 7. Упрощаем выражение $\left(\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2}\right) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}$. Сначала разложим знаменатели на множители: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ $$2x - x^2 = x(2 - x) = -x(x - 2)$$ $$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$ Теперь перепишем выражение с учётом разложения на множители: $$\left(\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x(x - 2)}\right) : \frac{1}{(x + 2)^2}$$ Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $x(x - 2)(x + 2)$: $$\left(\frac{2x}{x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x + 2}{x(x - 2)(x + 2)}\right) : \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{2x - (x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} : \frac{1}{(x + 2)^2}$$ Упростим числитель: $$\frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 2)} : \frac{1}{(x + 2)^2}$$ Сократим $(x - 2)$: $$\frac{1}{x(x + 2)} : \frac{1}{(x + 2)^2}$$ Теперь разделим, заменив деление на умножение на обратную дробь: $$\frac{1}{x(x + 2)} \cdot (x + 2)^2 = \frac{(x + 2)^2}{x(x + 2)} = \frac{x + 2}{x}$$ **Ответ:** $\frac{x + 2}{x}$ 8. Два велосипедиста выехали одновременно. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч больше, чем второй, и прибыл на 3 часа раньше. Нужно найти скорость второго велосипедиста. Пусть скорость второго велосипедиста $v$ км/ч, тогда скорость первого $v + 3$ км/ч. Время, которое затратил второй велосипедист, равно $t$ часов, тогда время первого $t - 3$ часов. Расстояние, которое они проехали, одинаковое и равно 130 км. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} v \cdot t = 130 \\ (v + 3)(t - 3) = 130 \end{cases}$$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$vt - 3v + 3t - 9 = 130$$ Так как $vt = 130$, то: $$130 - 3v + 3t - 9 = 130 \Rightarrow -3v + 3t = 9 \Rightarrow t = v + 3$$ Подставим $t$ в первое уравнение: $$v(v + 3) = 130 \Rightarrow v^2 + 3v - 130 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529$. Тогда $v = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-3 \pm 23}{2}$. $v_1 = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10$, $v_2 = \frac{-3 - 23}{2} = -13$. Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10$ км/ч. **Ответ:** 10 км/ч