Найди значение выражения: a) (cos 35° + cos 85°)(cos 275° + cos325°) + + (cos 5° + cos 125°)(cos 355° - cos 415°);

a) Давай посмотрим. Тут нужно вспомнить формулы приведения и формулы для косинуса суммы и разности. Сначала упростим выражение, используя формулы приведения: $$\cos 275^\circ = \cos (360^\circ - 85^\circ) = \cos 85^\circ$$ $$\cos 325^\circ = \cos (360^\circ - 35^\circ) = \cos 35^\circ$$ $$\cos 125^\circ = \cos (90^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ$$ $$\cos 355^\circ = \cos (360^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ$$ $$\cos 415^\circ = \cos (360^\circ + 55^\circ) = \cos 55^\circ$$ Подставим это в исходное выражение: $$(\cos 35^\circ + \cos 85^\circ)(\cos 85^\circ + \cos 35^\circ) + (\cos 5^\circ - \sin 35^\circ)(\cos 5^\circ - \cos 55^\circ)$$ Используем формулу для произведения косинусов: $$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ Тогда: $$\cos 35^\circ + \cos 85^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos (-25^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 25^\circ = \cos 25^\circ$$ $$\cos 5^\circ - \sin 35^\circ = \cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2 \sin \frac{5^\circ + 55^\circ}{2} \sin \frac{5^\circ - 55^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin (-25^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} (-\sin 25^\circ) = \sin 25^\circ$$ $$\cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2 \sin \frac{5^\circ + 55^\circ}{2} \sin \frac{5^\circ - 55^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin (-25^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} (-\sin 25^\circ) = \sin 25^\circ$$ Подставим полученные значения обратно в выражение: $$(\cos 25^\circ)^2 + (\sin 25^\circ)^2 = 1$$ б) Тут нам понадобится знание значений тригонометрических функций и умение упрощать выражения. $$\sin 6^\circ + \cos 6^\circ \cdot \text{tg } 42^\circ = \sin 6^\circ + \cos 6^\circ \cdot \frac{\sin 42^\circ}{\cos 42^\circ}$$ Дальше, к сожалению, без дополнительных данных или упрощений решить не получится. Возможно, тут опечатка в условии, и должно быть $\text{tg } 6^\circ$ вместо $\text{tg } 42^\circ$. в) Здесь нам помогут формулы приведения и знание значений синусов и тангенсов для разных углов. Сначала преобразуем тангенсы и синусы, используя формулы приведения: $$\text{tg } 293^\circ = \text{tg } (360^\circ - 67^\circ) = -\text{tg } 67^\circ$$ $$\sin 128^\circ = \sin (180^\circ - 52^\circ) = \sin 52^\circ$$ $$\sin 322^\circ = \sin (360^\circ - 38^\circ) = -\sin 38^\circ$$ $$\sin 142^\circ = \sin (180^\circ - 38^\circ) = \sin 38^\circ$$ Теперь подставим преобразованные значения в исходное выражение: $$\text{tg } 23^\circ \cdot (-\text{tg } 67^\circ) + \sin 52^\circ \cdot \sin 52^\circ - (-\sin 38^\circ) \cdot \sin 38^\circ = -\text{tg } 23^\circ \cdot \text{tg } 67^\circ + \sin^2 52^\circ + \sin^2 38^\circ$$ Заметим, что $\text{tg } 67^\circ = \text{tg } (90^\circ - 23^\circ) = \ctg 23^\circ$. Тогда: $$-\text{tg } 23^\circ \cdot \ctg 23^\circ + \sin^2 52^\circ + \sin^2 38^\circ = -1 + \sin^2 52^\circ + \sin^2 38^\circ$$ Используем формулу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Так как $\sin 38^\circ = \cos (90^\circ - 38^\circ) = \cos 52^\circ$, то: $$-1 + \sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ = -1 + 1 = 0$$ г) Тут нам пригодятся формулы двойного угла. В числителе у нас формула косинуса двойного угла: $$1 - 2 \sin^2 13^\circ = \cos (2 \cdot 13^\circ) = \cos 26^\circ$$ В знаменателе тоже можно увидеть формулу косинуса двойного угла, если вынести минус за скобки: $$2 \cos^2 19^\circ - 1 = - (1 - 2 \cos^2 19^\circ) = -\cos (2 \cdot 19^\circ) = -\cos 38^\circ$$ Тогда выражение будет выглядеть так: $$\frac{\cos 26^\circ \cdot \cos 64^\circ}{-\cos 38^\circ} = -\frac{\cos 26^\circ \cdot \cos 64^\circ}{\cos 38^\circ}$$ Заметим, что $\cos 64^\circ = \sin (90^\circ - 64^\circ) = \sin 26^\circ$. Подставим это в выражение: $$-\frac{\cos 26^\circ \cdot \sin 26^\circ}{\cos 38^\circ} = -\frac{\frac{1}{2} \sin (2 \cdot 26^\circ)}{\cos 38^\circ} = -\frac{\sin 52^\circ}{2 \cos 38^\circ}$$ Так как $\sin 52^\circ = \cos (90^\circ - 52^\circ) = \cos 38^\circ$, то: $$-\frac{\cos 38^\circ}{2 \cos 38^\circ} = -\frac{1}{2}$$ **Ответ:** a) 1 б) $\sin 6^\circ + \cos 6^\circ \cdot \text{tg } 42^\circ$ (нужно уточнение условия) в) 0 г) -$\frac{1}{2}$