Ты просишь доказать, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3)(p+4)<p(p+1)

Давай докажем эти неравенства! 1) $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки с обеих сторон: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$ $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Теперь вычтем $(p^2 + p)$ из обеих частей: $-12 < 0$ Поскольку $-12$ всегда меньше $0$, неравенство верно при любом значении $p$. 2) $(x+1)^2 > x(x+2)$ Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем $(x^2 + 2x)$ из обеих частей: $1 > 0$ Так как $1$ всегда больше $0$, неравенство верно при любом значении $x$. 3) $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскроем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$ $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем $(a^2 - 3a)$ из обеих частей: $-10 > -40$ Поскольку $-10$ всегда больше $-40$, неравенство верно при любом значении $a$. 4) $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскроем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$ Вычтем $(y^2 + 8y)$ из обеих частей: $0 < 16$ Так как $0$ всегда меньше $16$, неравенство верно при любом значении $y$. 5) $(2a-5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$ Вычтем $(-20a + 25)$ из обеих частей: $4a^2 \le 6a^2$ Вычтем $4a^2$ из обеих частей: $0 \le 2a^2$ Разделим обе части на $2$: $0 \le a^2$ Квадрат любого числа всегда больше или равен $0$, значит, неравенство верно при любом значении $a$. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Перенесём $4a$ в левую часть: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ Заметим, что левая часть — это полный квадрат: $(a-2)^2 \ge 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен $0$, поэтому неравенство верно при любом значении $a$. Теперь давай разберёмся с утверждениями про неравенства: 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$? Это верно только если $b > 0$. Если $b < 0$, то знак неравенства меняется, и $\frac{a}{b} < 1$. 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$? Да, это верно. Если $a > 1$, то при делении $2$ на число больше $1$ результат будет меньше $2$. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$? Да, это верно. Если $a < 1$ и положительное, то при делении $2$ на число меньше $1$ результат будет больше $2$. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$? Это верно только если $b > 0$. Если $b < 0$, то знак неравенства меняется, и $a < b$. 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a$ не больше $1$.