Реши задачи 1013-1019 из учебника геометрии

1013 a) Если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. б) Если $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$, то $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. в) Если $\cos \alpha = -1$, то $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (-1)^2} = \pm \sqrt{1 - 1} = 0$. 1014 a) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. б) Если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. в) Если $\sin \alpha = 0$, то $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - 0^2} = \pm \sqrt{1} = \pm 1$. 1015 a) Если $\cos \alpha = 1$, то $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0}{1} = 0$. б) Если $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}} = \mp \frac{\sqrt{3}}{3}$. в) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. г) Если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$. Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$. 1016 $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. 1017 a) Чтобы построить угол $A$, если $\sin A = \frac{2}{3}$, нарисуй прямоугольный треугольник, где отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{3}$. б) Чтобы построить угол $A$, если $\cos A = \frac{3}{4}$, нарисуй прямоугольный треугольник, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{3}{4}$. в) Чтобы построить угол $A$, если $\cos A = -\frac{2}{5}$, нужно помнить, что косинус отрицательный во второй и третьей четвертях. Построй угол, используя это. 1018 a) Если $OA = 3$ и $\alpha = 45^\circ$, то координаты точки $A$ будут $A = (3 \cos 45^\circ, 3 \sin 45^\circ) = (\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$. б) Если $OA = 1.5$ и $\alpha = 90^\circ$, то координаты точки $A$ будут $A = (1.5 \cos 90^\circ, 1.5 \sin 90^\circ) = (0, 1.5)$. в) Если $OA = 5$ и $\alpha = 30^\circ$, то координаты точки $A$ будут $A = (5 \cos 30^\circ, 5 \sin 30^\circ) = (\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$. г) Если $OA = 1$ и $\alpha = 180^\circ$, то координаты точки $A$ будут $A = (1 \cos 180^\circ, 1 \sin 180^\circ) = (-1, 0)$. д) Если $OA = 2$ и $\alpha = 30^\circ$, то координаты точки $A$ будут $A = (2 \cos 30^\circ, 2 \sin 30^\circ) = (\sqrt{3}, 1)$. 1019 a) Если точка $A$ имеет координаты $(2; 2)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $45^\circ$. б) Если точка $A$ имеет координаты $(0; 3)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $90^\circ$. в) Если точка $A$ имеет координаты $(-\sqrt{3}; 1)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $150^\circ$. г) Если точка $A$ имеет координаты $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $135^\circ$.