Проверь, что точки M₁ (0;1), M₂ (1/2; √3/2), M₃ (√2/2; √2/2), M₄ (-√3/2; 1/2), A (1; 0), B(-1;0) лежат на единичной полуокружности.

Для решения задачи 1012, нужно проверить, что точки $M_1 (0;1)$, $M_2 (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $M_3 (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $M_4 (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $A (1; 0)$, $B(-1;0)$ лежат на единичной полуокружности. Это значит, что расстояние от каждой точки до начала координат (точки $O(0;0)$) должно быть равно 1. Для точки $M_1$: $$OM_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1$$ Для точки $M_2$: $$OM_2 = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$$ Для точки $M_3$: $$OM_3 = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}-0)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$$ Для точки $M_4$: $$OM_4 = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$$ Для точки $A$: $$OA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$$ Для точки $B$: $$OB = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$$ Теперь выпишем значения синуса, косинуса и тангенса углов $AOM_1$, $AOM_2$, $AOM_3$, $AOM_4$, $AOB$: $\sin(AOM_1) = 1, \cos(AOM_1) = 0, \tan(AOM_1) = \frac{1}{0}$ (не определен) $\sin(AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos(AOM_2) = \frac{1}{2}, \tan(AOM_2) = \sqrt{3}$ $\sin(AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos(AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan(AOM_3) = 1$ $\sin(AOM_4) = \frac{1}{2}, \cos(AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan(AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sin(AOB) = 0, \cos(AOB) = -1, \tan(AOB) = 0$ Для задачи 1013 нужно найти $\sin \alpha$, если даны некоторые условия. Допущение: дано условие $cos \alpha = \frac{1}{2}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставляем известное значение косинуса: $$\sin^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{3}{4}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Ответ:** $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$