Как решить неравенство 2х²-х/х+1>0?

Решим неравенство $2x^2 - \frac{x}{x+1} > 0$. Сначала преобразуем выражение, приведя всё к общему знаменателю: $$2x^2 - \frac{x}{x+1} = \frac{2x^2(x+1) - x}{x+1} = \frac{2x^3 + 2x^2 - x}{x+1} = \frac{x(2x^2 + 2x - 1)}{x+1}$$ Теперь нам нужно решить неравенство: $$\frac{x(2x^2 + 2x - 1)}{x+1} > 0$$ Сначала найдём корни числителя: 1. $x = 0$ 2. $2x^2 + 2x - 1 = 0$. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$$ $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$$ Итак, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx 0.366$ Теперь найдём нули знаменателя: $x + 1 = 0$, следовательно, $x = -1$ Отметим все эти точки на числовой прямой: ----(-\frac{1 + \sqrt{3}}{2})----(-1)----(0)----(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2})----> X Теперь определим знаки на каждом интервале. Возьмём пробные точки: * $x = -2$: $\frac{-2(2 \cdot 4 - 4 - 1)}{-2 + 1} = \frac{-2(3)}{-1} = 6 > 0$ (знак +) * $x = -1.2$: $\frac{-1.2(2 \cdot 1.44 - 2.4 - 1)}{-1.2 + 1} = \frac{-1.2(-0.52)}{-0.2} < 0$ (знак -) * $x = -0.5$: $\frac{-0.5(2 \cdot 0.25 - 1 - 1)}{-0.5 + 1} = \frac{-0.5(-1.5)}{0.5} > 0$ (знак +) * $x = 0.5$: $\frac{0.5(2 \cdot 0.25 + 1 - 1)}{0.5 + 1} = \frac{0.5(0.5)}{1.5} > 0$ (знак +) * $x = 1$: $\frac{1(2 + 2 - 1)}{1 + 1} = \frac{3}{2} > 0$ (знак +) Итак, решение неравенства: $$x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (-1; 0) \cup (\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$$ **Ответ:** $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (-1; 0) \cup (\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$