Помоги мне решить систему уравнений: 1/x + 1/y = 5/4, x²+y²=17

Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе. Она выглядит немного сложной, но мы справимся! **Система уравнений:** $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4} \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases}$$ 1. **Преобразуем первое уравнение:** Чтобы избавиться от дробей, приведем первое уравнение к общему знаменателю: $$\frac{x + y}{xy} = \frac{5}{4}$$ Теперь можем выразить это уравнение как: $$4(x + y) = 5xy$$ 2. **Выразим одну переменную через другую:** Выразим $x + y$ из преобразованного уравнения: $$x + y = \frac{5}{4}xy$$ 3. **Используем второе уравнение:** Второе уравнение у нас $x^2 + y^2 = 17$. Попробуем связать его с первым. Заметим, что $$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$ Мы знаем $x^2 + y^2$, поэтому можем записать: $$(x + y)^2 = 17 + 2xy$$ 4. **Подставим и решим:** Теперь подставим выражение для $x + y$ из первого уравнения: $$\left(\frac{5}{4}xy\right)^2 = 17 + 2xy$$ Это даст нам: $$\frac{25}{16}(xy)^2 = 17 + 2xy$$ Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дроби: $$25(xy)^2 = 272 + 32xy$$ Получим квадратное уравнение относительно $xy$: $$25(xy)^2 - 32xy - 272 = 0$$ 5. **Решаем квадратное уравнение:** Введем замену $z = xy$. Тогда уравнение будет выглядеть так: $$25z^2 - 32z - 272 = 0$$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-32)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-272) = 1024 + 27200 = 28224$$ $$z = \frac{-(-32) \pm \sqrt{28224}}{2 \cdot 25} = \frac{32 \pm 168}{50}$$ Получаем два значения для $z$: $$z_1 = \frac{32 + 168}{50} = \frac{200}{50} = 4$$ $$z_2 = \frac{32 - 168}{50} = \frac{-136}{50} = -2.72$$ 6. **Найдем значения $x$ и $y$:** Теперь нам нужно вернуться к $x$ и $y$. У нас есть два случая: а) $xy = 4$ и $x + y = \frac{5}{4}xy = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$ б) $xy = -2.72$ и $x + y = \frac{5}{4}xy = \frac{5}{4} \cdot (-2.72) = -3.4$ **Случай а):** $x + y = 5$ и $xy = 4$. Выразим $y$ через $x$: $y = 5 - x$. Подставим в $xy = 4$: $$x(5 - x) = 4$$ $$5x - x^2 = 4$$ $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ $$(x - 4)(x - 1) = 0$$ Значит, $x = 4$ или $x = 1$. Если $x = 4$, то $y = 1$. Если $x = 1$, то $y = 4$. **Случай б):** $x + y = -3.4$ и $xy = -2.72$. Выразим $y$ через $x$: $y = -3.4 - x$. Подставим в $xy = -2.72$: $$x(-3.4 - x) = -2.72$$ $$-3.4x - x^2 = -2.72$$ $$x^2 + 3.4x - 2.72 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (3.4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.72) = 11.56 + 10.88 = 22.44$$ $$x = \frac{-3.4 \pm \sqrt{22.44}}{2} = \frac{-3.4 \pm 4.737}{2}$$ $$x_1 = \frac{-3.4 + 4.737}{2} = \frac{1.337}{2} = 0.6685$$ $$x_2 = \frac{-3.4 - 4.737}{2} = \frac{-8.137}{2} = -4.0685$$ Теперь найдем $y$: $$y_1 = -3.4 - 0.6685 = -4.0685$$ $$y_2 = -3.4 - (-4.0685) = 0.6685$$ **Ответ:** Решения системы уравнений: * $(4, 1)$ * $(1, 4)$ * $(0.6685, -4.0685)$ * $(-4.0685, 0.6685)$