Ты просишь меня решить неравенства: a) $log_{0,5}(2x+5) > -3$ и б) $\frac{x^2 + 2x - 3}{(x-7)(x+5)} < 0$

Конечно, давай решим эти неравенства! a) $log_{0,5}(2x+5) > -3$ Сначала найдём область определения логарифма, то есть при каких значениях $x$ выражение под логарифмом будет положительным: $2x + 5 > 0$ $2x > -5$ $x > -2,5$ Теперь решим неравенство. Чтобы избавиться от логарифма, нужно обе части неравенства возвести в степень основания логарифма, то есть 0,5. Важно помнить, что когда основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный: $2x + 5 < (0,5)^{-3}$ $2x + 5 < 2^3$ $2x + 5 < 8$ $2x < 3$ $x < 1,5$ Теперь нужно учесть область определения логарифма: $x > -2,5$. Значит, решением будет интервал, где выполняются оба условия: $-2,5 < x < 1,5$ б) $\frac{x^2 + 2x - 3}{(x-7)(x+5)} < 0$ Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Это можно сделать через дискриминант или теорему Виета. Здесь легко заметить, что корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$, так как $1 + (-3) = -2$ (коэффициент перед $x$ с противоположным знаком) и $1 \cdot (-3) = -3$ (свободный член). Тогда числитель раскладывается на множители как $(x - 1)(x + 3)$. Теперь наше неравенство выглядит так: $\frac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 7)(x + 5)} < 0$ Чтобы решить это неравенство, используем метод интервалов. Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: -5, -3, 1, 7. Важно помнить, что точки -5 и 7 будут выколотыми, так как на них делить нельзя. Теперь определим знаки на каждом интервале. Берём число из каждого интервала и подставляем в неравенство: - $(-\infty, -5)$: возьмём $x = -6$. Получаем $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ (положительно) - $(-5, -3)$: возьмём $x = -4$. Получаем $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$ (отрицательно) - $(-3, 1)$: возьмём $x = 0$. Получаем $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$ (положительно) - $(1, 7)$: возьмём $x = 2$. Получаем $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$ (отрицательно) - $(7, +\infty)$: возьмём $x = 8$. Получаем $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ (положительно) Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть отрицательные: $-5 < x < -3$ и $1 < x < 7$ **Ответ:** a) $-2,5 < x < 1,5$ б) $-5 < x < -3$ и $1 < x < 7$