Ты просишь меня решить неравенство \(\frac{2 \log_5(x^2 - 5x)}{\log_5 x^2} \le 1\)

Давай решим это неравенство вместе! Вот шаги, которые нам понадобятся: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ)**: * $x^2 - 5x > 0$ (подкоренное выражение первого логарифма должно быть больше нуля) * $x^2 > 0$ (подкоренное выражение второго логарифма должно быть больше нуля) * $x \neq 0$ (чтобы знаменатель не был равен нулю) 2. **Упростим неравенство**: * Используем свойство логарифма: $\log_a b^c = c \log_a b$. Тогда $\log_5 x^2 = 2 \log_5 |x|$. * Перепишем неравенство: $$\frac{2 \log_5(x^2 - 5x)}{2 \log_5 |x|} \le 1$$ * Сократим двойки и перенесем всё в одну сторону: $$\frac{\log_5(x^2 - 5x)}{\log_5 |x|} - 1 \le 0$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{\log_5(x^2 - 5x) - \log_5 |x|}{\log_5 |x|} \le 0$$ * Используем свойство логарифма: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $$\frac{\log_5(\frac{x^2 - 5x}{|x|})}{\log_5 |x|} \le 0$$ 3. **Решим неравенство методом интервалов**. Для этого нам нужно найти нули числителя и знаменателя: * $\log_5(\frac{x^2 - 5x}{|x|}) = 0$. Это означает, что $\frac{x^2 - 5x}{|x|} = 1$. * $\log_5 |x| = 0$. Это означает, что $|x| = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. 4. **Рассмотрим два случая**: $x > 0$ и $x < 0$, чтобы раскрыть модуль в уравнении $\frac{x^2 - 5x}{|x|} = 1$. * **Случай 1**: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $$\frac{x^2 - 5x}{x} = 1$$ $$x - 5 = 1$$ $$x = 6$$ * **Случай 2**: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $$\frac{x^2 - 5x}{-x} = 1$$ $$-x + 5 = 1$$ $$x = 4$$ Но это решение не подходит, так как мы рассматриваем случай $x < 0$. 5. **Учитываем ОДЗ**. Из ОДЗ у нас есть условия $x^2 - 5x > 0$ и $x \neq 0$. Решим неравенство $x^2 - 5x > 0$: $$x(x - 5) > 0$$ Это неравенство выполняется, когда $x < 0$ или $x > 5$. 6. **Собираем все решения и проверяем их на ОДЗ**: * Критические точки: -1, 1, 6 * ОДЗ: $x < 0$ или $x > 5$ * Решением будут интервалы, где неравенство выполняется. 7. **Финальное решение**: * $x \in (-\infty, -1) \cup (5, 6]$ Вроде бы всё логично, но лучше перепроверить каждый шаг! Удачи!