Помоги мне решить уравнение 5 * sin²(x) + 5 * sin(x) * cos(x) = 3

5 \cdot sin^2(x) + 5 \cdot sin(x) \cdot cos(x) = 3 Решать такое уравнение - это как искать клад, где подсказками служат математические правила и формулы. Вот как можно его решить: 1. **Преобразуем уравнение:** - Перенесем все в одну сторону: $$5sin^2(x) + 5sinx \cdot cosx - 3 = 0$$ 2. **Используем основное тригонометрическое тождество:** - Знаем, что $$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$$. Значит, $$3 = 3 \cdot 1 = 3(sin^2(x) + cos^2(x))$$. Подставим это в уравнение: $$5sin^2(x) + 5sinx \cdot cosx - 3sin^2(x) - 3cos^2(x) = 0$$ 3. **Упростим выражение:** - Сгруппируем подобные члены: $$(5sin^2(x) - 3sin^2(x)) + 5sinx \cdot cosx - 3cos^2(x) = 0$$ $$2sin^2(x) + 5sinx \cdot cosx - 3cos^2(x) = 0$$ 4. **Разделим на $$cos^2(x)$$ (если $$cos(x) \neq 0$$):** - Получим уравнение относительно тангенса: $$2\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + 5\frac{sinx \cdot cosx}{cos^2(x)} - 3\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)} = 0$$ $$2tan^2(x) + 5tan(x) - 3 = 0$$ 5. **Решим квадратное уравнение относительно $$tan(x)$$:** - Введем замену: $$t = tan(x)$$. Тогда уравнение будет выглядеть так: $$2t^2 + 5t - 3 = 0$$ 6. **Найдем корни квадратного уравнения:** - Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ - Корни уравнения: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3$$ 7. **Найдем решения для $$x$$:** - Вернемся к замене: $$tan(x) = t$$ - Для $$t_1 = \frac{1}{2}$$: $$tan(x) = \frac{1}{2}$$ $$x = arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ - Для $$t_2 = -3$$: $$tan(x) = -3$$ $$x = arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 8. **Проверим, не потеряли ли мы решения при делении на $$cos^2(x)$$:** - Если $$cos(x) = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$$ - Подставим в исходное уравнение: $$5sin^2(\frac{\pi}{2} + \pi m) + 5sin(\frac{\pi}{2} + \pi m) \cdot cos(\frac{\pi}{2} + \pi m) = 3$$ $$5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot 0 = 3$$ $$5 = 3$$ – неверно, значит, эти значения не являются решениями. **Ответ:** $$x = arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$