Реши задачи 462-470 про четырёхугольники.

Задача 462. Чтобы начертить выпуклые пятиугольник и шестиугольник и разделить их диагоналями из одной вершины, нужно сделать следующее: 1. **Пятиугольник:** * Нарисуй пятиугольник (пять углов и пять сторон). Важно, чтобы он был выпуклым, то есть все углы меньше 180 градусов. * Выбери любую вершину. Из этой вершины проведи диагонали ко всем остальным вершинам, кроме соседних (иначе это будут стороны, а не диагонали). * Ты увидишь, что пятиугольник разделился на три треугольника. 2. **Шестиугольник:** * Нарисуй шестиугольник (шесть углов и шесть сторон), также выпуклый. * Выбери любую вершину и проведи из неё диагонали ко всем не соседним вершинам. * Шестиугольник разделится на четыре треугольника. **Ответ:** Пятиугольник делится на 3 треугольника, шестиугольник делится на 4 треугольника. Задача 463. Чтобы найти сумму углов выпуклых многоугольников, можно использовать формулу: (n−2)⋅180°, где n - это количество сторон многоугольника. a) Пятиугольник: $$(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$$ б) Шестиугольник: $$(6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$$ в) Десятиугольник: $$(10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$$ **Ответ:** a) 540°; б) 720°; в) 1440°. Задача 464. Чтобы найти количество диагоналей выпуклого многоугольника, можно использовать формулу: $$d = \frac{n(n-3)}{2}$$, где $n$ - количество сторон многоугольника. a) Пятиугольник: $$d = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$ б) Двенадцатиугольник: $$d = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$$ в) Двадцатипятиугольник: $$d = \frac{25(25-3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 275$$ **Ответ:** a) 5; б) 54; в) 275. Задача 465. Чтобы узнать, сколько сторон у выпуклого многоугольника, если известен угол, можно воспользоваться формулой: $$Угол = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$, где $n$ - это количество сторон. Преобразуем формулу, чтобы найти $n$: $$n = \frac{360}{180 - Угол}$$ a) 90°: $$n = \frac{360}{180 - 90} = \frac{360}{90} = 4$$. Это квадрат. б) 60°: $$n = \frac{360}{180 - 60} = \frac{360}{120} = 3$$. Это треугольник. в) 120°: $$n = \frac{360}{180 - 120} = \frac{360}{60} = 6$$. Это шестиугольник. г) 108°: $$n = \frac{360}{180 - 108} = \frac{360}{72} = 5$$. Это пятиугольник. **Ответ:** a) 4 стороны; б) 3 стороны; в) 6 сторон; г) 5 сторон. Задача 466 **Допущение:** Под словами "одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм" подразумевается, что есть три стороны, которые меньше первой на 3 мм, 4 мм и 5 мм. Пусть первая сторона равна $x$ см, тогда остальные стороны будут $x-0.3$ см, $x-0.4$ см и $x-0.5$ см. Периметр равен 8 см. Составим уравнение: $$x + (x - 0.3) + (x - 0.4) + (x - 0.5) = 8$$ $$4x - 1.2 = 8$$ $$4x = 9.2$$ $$x = 2.3$$ Тогда стороны равны: * Первая сторона: 2.3 см * Вторая сторона: 2.3 - 0.3 = 2 см * Третья сторона: 2.3 - 0.4 = 1.9 см * Четвёртая сторона: 2.3 - 0.5 = 1.8 см **Ответ:** 2.3 см, 2 см, 1.9 см, 1.8 см. Задача 467 Пусть вторая сторона равна $x$ см, тогда первая сторона будет $x + 8$ см, третья сторона будет $x + 8$ см, а четвёртая сторона будет $3x$ см. Периметр равен 66 см. Составим уравнение: $$(x + 8) + x + (x + 8) + 3x = 66$$ $$6x + 16 = 66$$ $$6x = 50$$ $$x = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} ≈ 8.33$$ Тогда стороны равны: * Первая сторона: 8.33 + 8 = 16.33 см * Вторая сторона: 8.33 см * Третья сторона: 8.33 + 8 = 16.33 см * Четвёртая сторона: 3 * 8.33 = 24.99 ≈ 25 см **Ответ:** 16.33 см, 8.33 см, 16.33 см, 25 см. Задача 468 Если все углы выпуклого четырёхугольника равны, то каждый угол равен 360° / 4 = 90°. **Ответ:** Все углы по 90°. Задача 469 Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Если ∠A = ∠B = ∠C и ∠D = 135°, то: Пусть ∠A = ∠B = ∠C = x. Тогда: $$x + x + x + 135 = 360$$ $$3x = 360 - 135$$ $$3x = 225$$ $$x = 75$$ Значит, ∠A = ∠B = ∠C = 75°. **Ответ:** ∠A = 75°, ∠B = 75°, ∠C = 75°, ∠D = 135°. Задача 470 Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Если углы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, то можно записать их как $x$, $2x$, $4x$ и $5x$. Тогда: $$x + 2x + 4x + 5x = 360$$ $$12x = 360$$ $$x = 30$$ Значит, углы равны: * Первый угол: 30° * Второй угол: 2 * 30 = 60° * Третий угол: 4 * 30 = 120° * Четвёртый угол: 5 * 30 = 150° **Ответ:** 30°, 60°, 120°, 150°.