Реши уравнение 6) $\frac{3}{x^2-2x+1} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1+x}$ и уравнение a) $\frac{1}{3x-2} - \frac{5}{4-9x^2} = \frac{2+3x}{15x+10}$

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! **6) Решение уравнения:** Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы упростить уравнение: $$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$ $$1 - x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$$ Тогда уравнение будет выглядеть так: $$\frac{3}{(x-1)^2} + \frac{2}{-(x-1)(x+1)} = \frac{1}{1+x}$$ Приведем дроби к общему знаменателю, домножив каждую дробь на недостающие множители: $$\frac{3(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можно сложить числители: $$3(x+1) - 2(x-1) = (x-1)^2$$ Раскроем скобки и упростим: $$3x + 3 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1$$ $$x + 5 = x^2 - 2x + 1$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Я воспользуюсь теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 3, а в произведении -4. Это числа 4 и -1. Значит, уравнение можно разложить на множители так: $$(x - 4)(x + 1) = 0$$ Отсюда находим корни уравнения: $$x = 4, x = -1$$ Но нужно проверить, не являются ли корни посторонними из-за знаменателей в исходном уравнении. Если $x = -1$, то в знаменателе второй и третьей дроби получается ноль, чего быть не может. Значит, $x = -1$ - посторонний корень. Остается только один корень: $x = 4$. **Ответ: x = 4** **а) Решение уравнения:** Давай решим уравнение: $$\frac{1}{3x-2} - \frac{5}{4-9x^2} = \frac{2+3x}{15x+10}$$ Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы упростить уравнение: $$4 - 9x^2 = (2-3x)(2+3x)$$ $$15x + 10 = 5(3x+2)$$ Тогда уравнение будет выглядеть так: $$\frac{1}{3x-2} - \frac{5}{(2-3x)(2+3x)} = \frac{2+3x}{5(3x+2)}$$ Заметим, что $(3x-2) = -(2-3x)$. Изменим знак во второй дроби: $$\frac{1}{3x-2} + \frac{5}{(3x-2)(2+3x)} = \frac{3x+2}{5(3x+2)}$$ Теперь сократим $(3x+2)$ в правой части, но помним, что $3x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{3}$: $$\frac{1}{3x-2} + \frac{5}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{1}{5}$$ Приведем дроби к общему знаменателю, домножив каждую дробь на недостающие множители: $$\frac{3x+2}{(3x-2)(3x+2)} + \frac{5}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{3x+2+5}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{3x+7}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{1}{5}$$ Перемножим крест-накрест: $$5(3x+7) = (3x-2)(3x+2)$$ Раскроем скобки: $$15x + 35 = 9x^2 - 4$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$9x^2 - 15x - 39 = 0$$ Разделим обе части на 3, чтобы упростить уравнение: $$3x^2 - 5x - 13 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 25 + 156 = 181$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{181}}{6}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{181}}{6}$$ Оба корня подходят, так как не равны $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$. **Ответ:** $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{181}}{6}$$, $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{181}}{6}$$