Объясни, как решить неравенство (12-5x)(x²-4x+4) >= 0

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством вместе. Оно выглядит немного сложно, но сейчас мы его упростим. Итак, у нас есть неравенство: $(12-5x)(x^2-4x+4) \ge 0$ 1. **Упрощаем выражение в скобках** Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ можно свернуть в полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Теперь наше неравенство выглядит так: $$(12-5x)(x-2)^2 \ge 0$$ 2. **Находим нули каждого множителя** Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти, при каких значениях $x$ каждый из множителей равен нулю: * $12 - 5x = 0$. Решаем это уравнение: $5x = 12$, значит, $x = \frac{12}{5} = 2,4$. * $(x-2)^2 = 0$. Здесь всё просто: $x = 2$. 3. **Рисуем числовую прямую и отмечаем точки** Теперь рисуем числовую прямую и отмечаем на ней точки, которые мы нашли: 2 и 2,4. Важно помнить, что точка 2 у нас как бы особенная, потому что она получилась из квадрата. Это значит, что знак слева и справа от неё меняться не будет. ----(2)----(2.4)----> 4. **Определяем знаки на интервалах** Берём любое число из каждого интервала и подставляем в исходное неравенство, чтобы понять, какой знак будет на этом интервале. Давай возьмём: * $x = 0$ (меньше 2): $(12 - 5 \cdot 0)(0 - 2)^2 = 12 \cdot 4 = 48$. Это больше нуля, значит, на этом интервале знак «+». * $x = 2,2$ (между 2 и 2,4): $(12 - 5 \cdot 2,2)(2,2 - 2)^2 = (12 - 11)(0,2)^2 = 1 \cdot 0,04 = 0,04$. Это тоже больше нуля, значит, и тут знак «+». * $x = 3$ (больше 2,4): $(12 - 5 \cdot 3)(3 - 2)^2 = (12 - 15) \cdot 1 = -3$. Это меньше нуля, значит, здесь знак «-». 5. **Записываем ответ** Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Значит, выбираем интервалы со знаком «+» и не забываем про точки, где выражение равно нулю (то есть $x = 2$ и $x = 2,4$). **Ответ:** $x \in \{2\} \cup (-\infty; 2,4]$.