Найди наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -10/x на промежутке [2; 5]

1.8. Найдём наибольшее и наименьшее значения функций на заданном промежутке. 1) $f(x) = -\frac{10}{x}$ на $[2; 5]$ Функция $f(x)$ непрерывна на заданном промежутке. Так как это дробь, знаменатель не обращается в ноль. Производная $f'(x) = \frac{10}{x^2} > 0$, то есть функция возрастает. Значит, наименьшее значение в точке $x = 2$, а наибольшее в точке $x = 5$. $f(2) = -\frac{10}{2} = -5$ $f(5) = -\frac{10}{5} = -2$ 2) $f(x) = \frac{20}{x}$ на $[2; 5]$ Функция $f(x)$ непрерывна на заданном промежутке. Производная $f'(x) = -\frac{20}{x^2} < 0$, то есть функция убывает. Значит, наибольшее значение в точке $x = 2$, а наименьшее в точке $x = 5$. $f(2) = \frac{20}{2} = 10$ $f(5) = \frac{20}{5} = 4$ 1.9. Найдём значения выражений с учётом заданных промежутков. 1) $\max_{x \in [1;2]} (-x^2 + 6x)$ Найдём производную функции $f(x) = -x^2 + 6x$: $f'(x) = -2x + 6$. Приравняем к нулю: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. Эта точка не входит в промежуток $[1; 2]$, поэтому рассмотрим значения на концах отрезка. $f(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 = 5$ $f(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 = -4 + 12 = 8$ Значит, $\max_{x \in [1;2]} (-x^2 + 6x) = 8$ 2) $\min_{x \in [1;4]} (-x^2 + 6x)$ Производная $f'(x) = -2x + 6$. Приравняем к нулю: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. Эта точка входит в промежуток $[1; 4]$. $f(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 = 5$ $f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$ $f(4) = -4^2 + 6 \cdot 4 = -16 + 24 = 8$ Значит, $\min_{x \in [1;4]} (-x^2 + 6x) = 5$ 3) $\max_{x \in [4;5]} (-x^2 + 6x)$ Производная $f'(x) = -2x + 6$. Приравняем к нулю: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. Эта точка не входит в промежуток $[4; 5]$, поэтому рассмотрим значения на концах отрезка. $f(4) = -4^2 + 6 \cdot 4 = -16 + 24 = 8$ $f(5) = -5^2 + 6 \cdot 5 = -25 + 30 = 5$ Значит, $\max_{x \in [4;5]} (-x^2 + 6x) = 8$ 1.10. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 + 2x - 8$ на заданных промежутках. Сначала найдём производную: $y' = 2x + 2$. Приравняем к нулю: $2x + 2 = 0$, откуда $x = -1$. Это критическая точка. 1) $[-5; -2]$ $y(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$ $y(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$ Так как $x = -1$ не входит в этот промежуток, то наибольшее значение 7, а наименьшее -8. 2) $[-5; 1]$ $y(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$ $y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$ $y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$ Наибольшее значение 7, наименьшее -9. 3) $[0; 3]$ $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$ $y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$ $y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$ Так как $x = -1$ не входит в этот промежуток, то наибольшее значение 7, а наименьшее -8.