Можешь помочь решить уравнения 7.10 a), 7.10 б), 7.10 в), 7.10 г), 7.11 a) и 7.11 б) относительно y и относительно x? Нужно выяснить, можно ли говорить, что данное уравнение задаёт функцию вида y = f(x) или/и вида x = φ(у)

Конечно, давай решим уравнения! 7. 10 a) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $2x + 3y = 24$: * Выразим $y$ через $x$: $$3y = 24 - 2x$$ $$y = \frac{24 - 2x}{3}$$ $$y = 8 - \frac{2}{3}x$$ Это линейная функция, где каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Значит, $y$ является функцией от $x$, то есть $y = f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$2x = 24 - 3y$$ $$x = \frac{24 - 3y}{2}$$ $$x = 12 - \frac{3}{2}y$$ Это тоже линейная функция, где каждому значению $y$ соответствует одно значение $x$. Значит, $x$ является функцией от $y$, то есть $x = \varphi(y)$. **Ответ:** Да, уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ и вида $x = \varphi(y)$. 7. 10 б) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $\frac{x-y}{x+2y} = 2$: * Преобразуем уравнение: $$x - y = 2(x + 2y)$$ $$x - y = 2x + 4y$$ $$x - 2x = 4y + y$$ $$-x = 5y$$ * Выразим $y$ через $x$: $$y = -\frac{1}{5}x$$ Это линейная функция, где каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Значит, $y$ является функцией от $x$, то есть $y = f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$x = -5y$$ Это тоже линейная функция, где каждому значению $y$ соответствует одно значение $x$. Значит, $x$ является функцией от $y$, то есть $x = \varphi(y)$. **Ответ:** Да, уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ и вида $x = \varphi(y)$. 7. 10 в) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $7x - 5y = 35$: * Выразим $y$ через $x$: $$-5y = 35 - 7x$$ $$y = \frac{35 - 7x}{-5}$$ $$y = -7 + \frac{7}{5}x$$ Это линейная функция, где каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Значит, $y$ является функцией от $x$, то есть $y = f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$7x = 35 + 5y$$ $$x = \frac{35 + 5y}{7}$$ $$x = 5 + \frac{5}{7}y$$ Это тоже линейная функция, где каждому значению $y$ соответствует одно значение $x$. Значит, $x$ является функцией от $y$, то есть $x = \varphi(y)$. **Ответ:** Да, уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ и вида $x = \varphi(y)$. 7. 10 г) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $\frac{2x+y}{x-4y} = -2$: * Преобразуем уравнение: $$2x + y = -2(x - 4y)$$ $$2x + y = -2x + 8y$$ $$2x + 2x = 8y - y$$ $$4x = 7y$$ * Выразим $y$ через $x$: $$y = \frac{4}{7}x$$ Это линейная функция, где каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Значит, $y$ является функцией от $x$, то есть $y = f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$x = \frac{7}{4}y$$ Это тоже линейная функция, где каждому значению $y$ соответствует одно значение $x$. Значит, $x$ является функцией от $y$, то есть $x = \varphi(y)$. **Ответ:** Да, уравнение задаёт функцию вида $y = f(x)$ и вида $x = \varphi(y)$. 7. 11 a) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $2x - 3y^2 = -12$: * Выразим $y$ через $x$: $$-3y^2 = -12 - 2x$$ $$y^2 = \frac{-12 - 2x}{-3}$$ $$y^2 = 4 + \frac{2}{3}x$$ $$y = \pm \sqrt{4 + \frac{2}{3}x}$$ Здесь одному значению $x$ могут соответствовать два значения $y$ (положительное и отрицательное). Например, если $x = 0$, то $y = \pm \sqrt{4} = \pm 2$. Значит, $y$ не является функцией от $x$, то есть $y \neq f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$2x = 3y^2 - 12$$ $$x = \frac{3y^2 - 12}{2}$$ $$x = \frac{3}{2}y^2 - 6$$ Здесь каждому значению $y$ соответствует одно значение $x$. Значит, $x$ является функцией от $y$, то есть $x = \varphi(y)$. **Ответ:** Уравнение задаёт функцию вида $x = \varphi(y)$, но не задаёт функцию вида $y = f(x)$. 7. 11 б) Выразим $y$ через $x$ и $x$ через $y$ в уравнении $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$: * Преобразуем уравнение: $$\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+4)} = \frac{y(y+1)}{(y-3)(y+4)}$$ $$\frac{x^2+x}{x^2+x-12} = \frac{y^2+y}{y^2+y-12}$$ Пусть $u = x^2 + x$ и $v = y^2 + y$, тогда уравнение имеет вид: $$\frac{u}{u-12} = \frac{v}{v-12}$$ $$u(v-12) = v(u-12)$$ $$uv - 12u = vu - 12v$$ $$-12u = -12v$$ $$u = v$$ Значит, $x^2 + x = y^2 + y$. * Выразим $y$ через $x$: $$y^2 + y - (x^2 + x) = 0$$ $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(x^2 + x)}}{2}$$ $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}$$ $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{(2x + 1)^2}}{2}$$ $$y = \frac{-1 \pm (2x + 1)}{2}$$ $$y_1 = \frac{-1 + 2x + 1}{2} = x$$ $$y_2 = \frac{-1 - 2x - 1}{2} = -x - 1$$ Здесь одному значению $x$ могут соответствовать два значения $y$. Значит, $y$ не является функцией от $x$, то есть $y \neq f(x)$. * Выразим $x$ через $y$: $$x^2 + x - (y^2 + y) = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(y^2 + y)}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(2y + 1)^2}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm (2y + 1)}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 2y + 1}{2} = y$$ $$x_2 = \frac{-1 - 2y - 1}{2} = -y - 1$$ Здесь одному значению $y$ могут соответствовать два значения $x$. Значит, $x$ не является функцией от $y$, то есть $x \neq \varphi(y)$. **Ответ:** Уравнение не задаёт функцию вида $y = f(x)$ и не задаёт функцию вида $x = \varphi(y)$.