Можешь доказать неравенство 2a² - 8a + 16 > 0?

Привет! Давай помогу разобраться с этими неравенствами. Они могут показаться сложными, но если разбить их на части, всё станет проще. Помни, главное - внимательность и немного терпения! **11. Докажите неравенство:** 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Чтобы доказать это неравенство, можно попробовать выделить полный квадрат: $2(a^2 - 4a + 8) > 0$ $2((a - 2)^2 + 4) > 0$ Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, а $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше нуля, то неравенство верно. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Аналогично, выделим полный квадрат: $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно. 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ Домножим на 2 и преобразуем: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$ $(a + b)^2 + a^2 + b^2 \ge 0$ Сумма квадратов всегда неотрицательна, поэтому неравенство верно. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ Раскроем скобки и упростим: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ $2a^2 + 8a - 33 > 12a - 36$ $2a^2 - 4a + 3 > 0$ $2(a - 1)^2 + 1 > 0$ Неравенство верно. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ $a^2 - 3a > 5a - 20$ $a^2 - 8a + 20 > 0$ $(a - 4)^2 + 4 > 0$ Неравенство верно. 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$ $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$ $0 \le a^2 + 5ab + 9b^2$ $(a + 2.5b)^2 + 2.75b^2 \ge 0$ Неравенство верно. **12. Докажите неравенство:** 1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4$ $7a^2 - 28a + 28 \ge 0$ $7(a - 2)^2 \ge 0$ Неравенство верно. 2) $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$ $(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$ Неравенство верно. 3) $3(b - 1) < b(b + 1)$ $3b - 3 < b^2 + b$ $b^2 - 2b + 3 > 0$ $(b - 1)^2 + 2 > 0$ Неравенство верно. 4) $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$ $4p^2 + 4p - p - 1 - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$ $4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$ $3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$ $8 > 0$ Неравенство верно. **13. Докажите, что:** 1) $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$ $a^2(a - 6) + (a - 6) \ge 0$ $(a - 6)(a^2 + 1) \ge 0$ Так как $a \ge 6$, то $(a - 6) \ge 0$ и $(a^2 + 1) > 0$, поэтому неравенство верно. 2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$ $ab - a - b + 1 > 0$ $a(b - 1) - (b - 1) > 0$ $(a - 1)(b - 1) > 0$ Так как $a > 1$ и $b > 1$, то $(a - 1) > 0$ и $(b - 1) > 0$, поэтому неравенство верно. 3) $\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a$, если $a < -6$ Умножим обе части на 12: $4(a + 3) + 3(3a - 2) < 12a$ $4a + 12 + 9a - 6 < 12a$ $13a + 6 < 12a$ $a < -6$ Неравенство верно. **14. Докажите, что:** 1) $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$ $ab^2 - a^2b \le a^3 - b^3$ $a^3 - b^3 - ab^2 + a^2b \ge 0$ $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) \ge 0$ $(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) \ge 0$ $(a - b)(a + b)^2 \ge 0$ Так как $a \ge b$, то $(a - b) \ge 0$ и $(a + b)^2 \ge 0$, поэтому неравенство верно. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если что-то осталось неясным, спрашивай ещё!