Выполни вычисления для заданий: выпиши числа, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби, выясни, рациональным или иррациональным является число $(\sqrt{245} - 3)(3+7/5)$, представь периодическую дробь в виде обыкновенной 2.(8), представь число $1\frac{6}{11}$ в виде десятичной дроби с точностью до 0,1, найди значение выражения $\frac{123457}{12.3-0.457} (1,5-1,2) 7\frac{1}{2}$

1. Чтобы понять, какие числа можно представить в виде конечной десятичной дроби, нужно посмотреть на их знаменатели (нижние части дробей). Если знаменатель можно разложить только на простые множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Итак: - $\frac{7}{25} = \frac{7}{5 \cdot 5}$ (можно) - $\frac{15}{13}$ (нельзя, есть 13) - $\frac{2}{9} = \frac{2}{3 \cdot 3}$ (нельзя, есть 3) - $\frac{1}{7}$ (нельзя, есть 7) - $\frac{5}{28} = \frac{5}{2 \cdot 2 \cdot 7}$ (нельзя, есть 7) - $\frac{19}{40} = \frac{19}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$ (можно) **Ответ:** $\frac{7}{25}$ и $\frac{19}{40}$ 2. **Допущение:** Выяснить, рациональным или иррациональным является число $(\sqrt{245} - 3\sqrt{5})(3 + \frac{7}{\sqrt{5}})$. Упростим выражение: $$(\sqrt{245} - 3\sqrt{5})(3 + \frac{7}{\sqrt{5}}) = (\sqrt{49 \cdot 5} - 3\sqrt{5})(3 + \frac{7}{\sqrt{5}}) = (7\sqrt{5} - 3\sqrt{5})(3 + \frac{7}{\sqrt{5}}) = 4\sqrt{5}(3 + \frac{7}{\sqrt{5}}) = 12\sqrt{5} + 4\sqrt{5} \cdot \frac{7}{\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} + 28$$ Так как в выражении есть иррациональное число $\sqrt{5}$, то и всё число является иррациональным. **Ответ:** Иррациональное. 3. **Допущение:** Представить периодическую дробь в виде обыкновенной: a) $2,(8) = 2 + 0,(8)$. Пусть $x = 0,(8)$. Тогда $10x = 8,(8)$. Вычитаем: $10x - x = 8,(8) - 0,(8)$ $9x = 8$ $x = \frac{8}{9}$ Значит, $2,(8) = 2 + \frac{8}{9} = \frac{18}{9} + \frac{8}{9} = \frac{26}{9}$. б) $4,2(6) = 4,2 + 0,0(6)$. Пусть $x = 0,0(6)$. Тогда $10x = 0,(6)$ и $100x = 6,(6)$. Вычитаем: $100x - 10x = 6,(6) - 0,(6)$ $90x = 6$ $x = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ Значит, $4,2(6) = 4,2 + \frac{1}{15} = \frac{42}{10} + \frac{1}{15} = \frac{21}{5} + \frac{1}{15} = \frac{63}{15} + \frac{1}{15} = \frac{64}{15}$. в) $0,15(13) = 0,15 + 0,00(13)$. Пусть $x = 0,00(13)$. Тогда $100x = 0,(13)$ и $10000x = 13,(13)$. Вычитаем: $10000x - 100x = 13,(13) - 0,(13)$ $9900x = 13$ $x = \frac{13}{9900}$ Значит, $0,15(13) = \frac{15}{100} + \frac{13}{9900} = \frac{15 \cdot 99}{9900} + \frac{13}{9900} = \frac{1485}{9900} + \frac{13}{9900} = \frac{1498}{9900} = \frac{749}{4950}$. **Ответ:** $2,(8) = \frac{26}{9}$; $4,2(6) = \frac{64}{15}$; $0,15(13) = \frac{749}{4950}$. 4. **Допущение:** Представить число $1\frac{6}{11}$ в виде десятичной дроби: a) с точностью до 0,1 $1\frac{6}{11} = 1 + \frac{6}{11}$. Делим 6 на 11 уголком: $$\begin{array}{cc|l} 6 & 0 & 11 \\ \hline 5 & 5 & 0,545 \\ \hline & 5 & 0 \\ & 4 & 4 \\ \hline & & 6 \end{array}$$ Получаем $\frac{6}{11} \approx 0,545...$. Тогда $1\frac{6}{11} \approx 1,545... \approx 1,5$ (с точностью до 0,1). б) с точностью до 0,01 $1\frac{6}{11} \approx 1,545... \approx 1,55$ (с точностью до 0,01). **Ответ:** a) 1,5; б) 1,55. 5. **Допущение:** Найти значение выражения $\frac{123457}{12,3 - 0,457} \cdot (1,5 - 1,2) \cdot 7\frac{1}{2}$. Сначала упростим выражение: $$\frac{123457}{12,3 - 0,457} \cdot (1,5 - 1,2) \cdot 7\frac{1}{2} = \frac{123457}{11,843} \cdot 0,3 \cdot 7,5$$ Теперь посчитаем: $$\frac{123457}{11,843} \cdot 0,3 \cdot 7,5 = 10424,42 \cdot 0,3 \cdot 7,5 = 3127,326 \cdot 7,5 = 23454,945$$ **Ответ:** 23454,945