Объясни, как найти область определения функций в задании 1.8 а)

1.8 a) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{x - 1}$, нужно понять, при каких значениях $x$ выражение под корнем не будет отрицательным. То есть, $x - 1 \geq 0$. Решаем это неравенство: $x \geq 1$. Значит, область определения - это все числа от 1 и больше. б) Для функции $y = \sqrt[3]{x + 1}$ область определения - все действительные числа, потому что корень третьей степени можно извлекать из любого числа, и положительного, и отрицательного. в) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 1}$ нужно, чтобы $x^2 - 1 \geq 0$. Это значит, что $x^2 \geq 1$. Это выполняется, когда $x \leq -1$ или $x \geq 1$. г) Для функции $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$ нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $x^2 - 4 \neq 0$. Это значит, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. д) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}}$ нужно, чтобы $x^2 - x > 0$ (строго больше, потому что корень в знаменателе). Это значит, что $x(x - 1) > 0$. Это выполняется, когда $x < 0$ или $x > 1$. е) Для функции $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}$ нужно, чтобы $x^2 + x \geq 0$ и $x + 4 \neq 0$. Значит, $x(x + 1) \geq 0$, то есть $x \leq -1$ или $x \geq 0$, и при этом $x \neq -4$. 1.9 a) Для функции $y = \log_2 |x|$ нужно, чтобы $|x| > 0$. Это значит, что $x \neq 0$. б) Для функции $y = |\log_2 x|$ нужно, чтобы $x > 0$, так как логарифм существует только для положительных чисел. в) Для функции $y = \log_2 \text{tg } x$ нужно, чтобы $\text{tg } x > 0$. Это происходит в первой и третьей четвертях, то есть $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ - целое число. г) Для функции $y = 2^{\sqrt{x}}$ нужно, чтобы $x \geq 0$, так как корень должен быть определён. д) Для функции $y = \sqrt{2^x}$ ограничений нет, так как $2^x$ всегда положительно, и корень из положительного числа всегда можно извлечь. Значит, $x$ - любое число. е) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}$ нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. То есть, $x^2 - 1 \geq 0$ и $1 - x^2 \geq 0$. Это возможно только если $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. 1.10 a) Область изменения функции $y = \sqrt{1 - x^2}$: так как $x^2$ всегда неотрицательно, то $1 - x^2$ максимально равно 1 (при $x = 0$) и минимально равно 0 (при $x = 1$ или $x = -1$). Значит, $y$ принимает значения от 0 до 1. б) Если $y = \sqrt{1 - x^2}$ и $X = [0; \frac{\sqrt{3}}{2}]$, то $x$ меняется от 0 до $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $y$ меняется от $\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$ до $\sqrt{1 - 0^2}$, то есть от $\sqrt{1 - \frac{3}{4}}$ до 1, или от $\frac{1}{2}$ до 1. в) Если $y = \sqrt{1 - x^2}$ и $X = [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1]$, то $x$ меняется от $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ до 1. Тогда $y$ меняется от $\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$ до $\sqrt{1 - 1^2}$, то есть от $\sqrt{1 - \frac{3}{4}}$ до 0, или от $\frac{1}{2}$ до 0. Значит, область изменения $y$ от 0 до 1. г) Область изменения функции $y = \frac{30}{\sqrt{100 - x^2}}$ при $X = [-8; 1]$: $x$ меняется от -8 до 1. Тогда $x^2$ меняется от 0 до 64. Значит, $100 - x^2$ меняется от 36 до 100, а $\sqrt{100 - x^2}$ меняется от 6 до 10. Тогда $y$ меняется от $\frac{30}{10}$ до $\frac{30}{6}$, то есть от 3 до 5. д) Область изменения функции $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ при $X = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$: $x$ меняется от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 0. Тогда $x^2$ меняется от 0 до $\frac{1}{2}$. Значит, $1 - x^2$ меняется от $\frac{1}{2}$ до 1, а $\sqrt{1 - x^2}$ меняется от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 1. Тогда $y$ меняется от 1 до $\frac{2}{\sqrt{2}}$, то есть от 1 до $\sqrt{2}$. ж) Область изменения функции $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}}$ при $X = [\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$: так как $X$ состоит только из одного значения $\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $y$ принимает только одно значение: $y = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^4}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{9}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{16}}} = \frac{4}{\sqrt{7}}$. з) Область изменения функции $y = \log_2 \sqrt{1 - x^2}$: так как $\sqrt{1 - x^2}$ меняется от 0 до 1, то $y$ меняется от $-\infty$ до 0.