Ты просишь, пользуясь определением производной, найти f'(x), если f(x) = 8/x

Сейчас помогу разобраться с производными! 1) Нам нужно найти производную функции $f(x) = \frac{8}{x}$, используя определение производной. Производная функции $f(x)$ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ Для нашей функции $f(x) = \frac{8}{x}$ это будет выглядеть так: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{8}{x + h} - \frac{8}{x}}{h}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{8x - 8(x + h)}{x(x + h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8x - 8x - 8h}{h \cdot x(x + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-8h}{h \cdot x(x + h)}$$ Сократим $h$ в числителе и знаменателе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-8}{x(x + h)}$$ Теперь устремим $h$ к нулю: $$f'(x) = \frac{-8}{x(x + 0)} = \frac{-8}{x^2}$$ **Ответ:** $f'(x) = -\frac{8}{x^2}$ 2) Теперь найдем производную функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$, используя определение производной: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ Подставим нашу функцию $f(x) = x^2 + 3x - 2$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{((x + h)^2 + 3(x + h) - 2) - (x^2 + 3x - 2)}{h}$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h - 2 - x^2 - 3x + 2}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 + 3h}{h}$$ Вынесем $h$ за скобки в числителе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h + 3)}{h}$$ Сократим $h$ в числителе и знаменателе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h + 3)$$ Теперь устремим $h$ к нулю: $$f'(x) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$$ **Ответ:** $f'(x) = 2x + 3$ 3) Теперь найдем производную функции $f(x) = 4 - x^2$, используя определение производной: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ Подставим нашу функцию $f(x) = 4 - x^2$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4 - (x + h)^2) - (4 - x^2)}{h}$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4 - (x^2 + 2xh + h^2) - 4 + x^2}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4 - x^2 - 2xh - h^2 - 4 + x^2}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h}$$ Вынесем $h$ за скобки в числителе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x - h)}{h}$$ Сократим $h$ в числителе и знаменателе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} (-2x - h)$$ Теперь устремим $h$ к нулю: $$f'(x) = -2x - 0 = -2x$$ **Ответ:** $f'(x) = -2x$ 4) Теперь найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$, используя определение производной: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ Подставим нашу функцию $f(x) = -\frac{1}{x^2}$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{1}{(x + h)^2} - (-\frac{1}{x^2})}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{1}{(x + h)^2} + \frac{1}{x^2}}{h}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-x^2 + (x + h)^2}{x^2(x + h)^2}}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-x^2 + x^2 + 2xh + h^2}{x^2(x + h)^2}}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h \cdot x^2(x + h)^2}$$ Вынесем $h$ за скобки в числителе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h \cdot x^2(x + h)^2}$$ Сократим $h$ в числителе и знаменателе: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2x + h}{x^2(x + h)^2}$$ Теперь устремим $h$ к нулю: $$f'(x) = \frac{2x + 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$$ **Ответ:** $f'(x) = \frac{2}{x^3}$