Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число 1/3.

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Здесь нужно представить обычные дроби в виде бесконечных десятичных дробей и сравнить числа. Это очень просто, если знать правила деления и сравнения десятичных дробей. ### Задание 5. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: Чтобы перевести обычную дробь в десятичную, нужно просто разделить числитель на знаменатель. Если при делении получается бесконечная дробь, это значит, что какие-то цифры после запятой будут повторяться. Мы их записываем в скобках. а) $\frac{1}{3}$ Чтобы получить десятичную дробь, делим 1 на 3: $$\begin{array}{c|l} 1,0 & 3 \\ \cline{2-2} 0 & 0,333... \\ 10 \\ \; 9 \\ \hline \; \; 10 \\ \; \; \; 9 \\ \hline \; \; \; \; 1 \end{array}$$ Мы видим, что цифра 3 будет постоянно повторяться. Поэтому мы записываем её в скобках. **Ответ: $0,(3)$** б) $\frac{5}{6}$ Делим 5 на 6: $$\begin{array}{c|l} 5,0 & 6 \\ \cline{2-2} 4,8 & 0,833... \\ \hline 0,20 \\ \; \; 0,18 \\ \hline \; \; \; 0,020 \\ \; \; \; \; 0,018 \\ \hline \; \; \; \; \; 0,002 \end{array}$$ Здесь повторяется цифра 3. **Ответ: $0,8(3)$** в) $\frac{1}{7}$ Делим 1 на 7. Тут будет длинный период: $$\begin{array}{c|l} 1,0 & 7 \\ \cline{2-2} 0,7 & 0,142857... \\ \hline 0,30 \\ \; \; 0,28 \\ \hline \; \; \; 0,020 \\ \; \; \; \; 0,014 \\ \hline \; \; \; \; \; 0,0060 \\ \; \; \; \; \; \; 0,0056 \\ \hline \; \; \; \; \; \; \; 0,00040 \\ \; \; \; \; \; \; \; \; 0,00035 \\ \hline \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0,000050 \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0,000049 \\ \hline \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0,000001 \end{array}$$ В данном случае повторяется группа цифр 142857. **Ответ: $0,(142857)$** г) $\frac{20}{9}$ Делим 20 на 9: $$\begin{array}{c|l} 20 & 9 \\ \cline{2-2} 18 & 2,222... \\ \hline 20 \\ \; 18 \\ \hline \; \; 2 \end{array}$$ Повторяется цифра 2. **Ответ: $2,(2)$** д) $-\frac{8}{15}$ Делим 8 на 15: $$\begin{array}{c|l} 8,0 & 15 \\ \cline{2-2} 7,5 & 0,533... \\ \hline 0,50 \\ \; \; 0,45 \\ \hline \; \; \; 0,050 \\ \; \; \; \; 0,045 \\ \hline \; \; \; \; \; 0,005 \end{array}$$ Так как у нас было отрицательное число, результат тоже будет отрицательным. Повторяется цифра 3. **Ответ: $-0,5(3)$** е) $10,28$ Это уже конечная десятичная дробь. Чтобы записать её как бесконечную, мы можем добавить нули, так как они не меняют значение числа. **Ответ: $10,28(0)$** (можно просто $10,28$) ж) $-17$ Целое число, можно представить как $-17,000...$ **Ответ: $-17,(0)$** (можно просто $-17$) з) $\frac{3}{16}$ Делим 3 на 16: $$\begin{array}{c|l} 3,0000 & 16 \\ \cline{2-2} 1,6 & 0,1875 \\ \hline 1,40 \\ \; \; 1,28 \\ \hline \; \; \; 0,120 \\ \; \; \; \; 0,112 \\ \hline \; \; \; \; \; 0,0080 \\ \; \; \; \; \; \; 0,0080 \\ \hline \; \; \; \; \; \; \; 0,0000 \end{array}$$ Это конечная десятичная дробь, но мы можем добавить нули для вида бесконечной. **Ответ: $0,1875(0)$** (можно просто $0,1875$) и) $-1\frac{3}{40}$ Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{40} = \frac{1 \cdot 40 + 3}{40} = \frac{43}{40}$. Теперь разделим 43 на 40: $$\begin{array}{c|l} 43,000 & 40 \\ \cline{2-2} 40 & 1,075 \\ \hline 30 \\ \; 0 \\ \hline \; 300 \\ \; 280 \\ \hline \; \; 200 \\ \; \; 200 \\ \hline \; \; \; 0 \end{array}$$ Так как у нас было отрицательное число, результат будет $-1,075$. Добавляем нули для вида бесконечной. **Ответ: $-1,075(0)$** (можно просто $-1,075$) к) $2\frac{7}{11}$ Переведём смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{22+7}{11} = \frac{29}{11}$. Теперь разделим 29 на 11: $$\begin{array}{c|l} 29,00 & 11 \\ \cline{2-2} 22 & 2,6363... \\ \hline 70 \\ \; 66 \\ \hline \; \; 40 \\ \; \; 33 \\ \hline \; \; \; 70 \\ \; \; \; 66 \\ \hline \; \; \; \; 4 \end{array}$$ Здесь повторяется группа цифр 63. **Ответ: $2,(63)$** ### Задание 6. Сравните рациональные числа: Чтобы сравнить числа, мы обычно смотрим на них слева направо. Если числа имеют разные знаки, отрицательное всегда меньше положительного. Если оба числа отрицательные, то больше то, которое ближе к нулю. а) $0,013$ и $0,1004$ Сравниваем по разрядам: 0,0... и 0,1... В первом числе после запятой идёт 0, во втором — 1. Значит, $0,1004$ больше. **Ответ: $0,013 < 0,1004$** б) $-24$ и $0,003$ Одно число отрицательное, другое положительное. Положительное число всегда больше отрицательного. **Ответ: $-24 < 0,003$** в) $-3,24$ и $-3,42$ Оба числа отрицательные. Чем число ближе к нулю, тем оно больше. $-3,24$ ближе к нулю, чем $-3,42$. **Ответ: $-3,24 > -3,42$** г) $\frac{3}{8}$ и $0,375$ Переведём дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную: $3 \div 8 = 0,375$. Теперь сравниваем $0,375$ и $0,375$. Они равны. **Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$** д) $-1,174$ и $-1\frac{7}{40}$ Сначала переведём $-1\frac{7}{40}$ в десятичную дробь. Мы уже делали это в задании 5, и получили $-1,175$. Теперь сравниваем $-1,174$ и $-1,175$. Оба числа отрицательные. $-1,174$ ближе к нулю, чем $-1,175$. **Ответ: $-1,174 > -1\frac{7}{40}$** е) $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$ Чтобы сравнить эти дроби, приведём их к общему знаменателю или переведём в десятичные дроби. Переведём в десятичные: $\frac{10}{11} \approx 0,9090... = 0,(90)$ $\frac{11}{12} \approx 0,9166... = 0,91(6)$ Сравниваем $0,(90)$ и $0,91(6)$. В первом числе после запятой 9, во втором 9. В следующем разряде: 0 у первого, 1 у второго. Значит, второе число больше. **Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$** ж) $-2,005$ и $-2,04$ Оба числа отрицательные. $-2,005$ ближе к нулю, чем $-2,04$. **Ответ: $-2,005 > -2,04$** з) $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$ Переведём $-1\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $-1 - \frac{3}{4} = -1 - 0,75 = -1,75$. Теперь сравниваем $-1,75$ и $-1,75$. Они равны. **Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$** и) $0,437$ и $\frac{7}{16}$ Переведём дробь $\frac{7}{16}$ в десятичную: $7 \div 16 = 0,4375$. Сравниваем $0,437$ и $0,4375$. В числе $0,4375$ есть дополнительная цифра 5, которая делает его больше. **Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$** к) $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$ Переведём $-\frac{1}{8}$ в десятичную дробь: $-1 \div 8 = -0,125$. Сравниваем $-0,125$ и $-0,13$. Оба числа отрицательные. $-0,125$ ближе к нулю, чем $-0,13$. **Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$** л) $1,37$ и $1,(37)$ $1,37$ — это $1,37000...$ $1,(37)$ — это $1,373737...$ Сравниваем $1,370$ и $1,373$. После цифр 1,37, у первого числа идёт 0, а у второго 3. Значит, $1,(37)$ больше. **Ответ: $1,37 < 1,(37)$** м) $-5,(34)$ и $-5,34$ $-5,(34)$ — это $-5,343434...$ $-5,34$ — это $-5,340000...$ Оба числа отрицательные. $-5,340$ ближе к нулю, чем $-5,343$. Значит $-5,34$ больше. **Ответ: $-5,(34) < -5,34$**