Реши примеры со смешанными дробями: a) 2 1/3 * 3 1/5 - 8 4/9 : 2; б) 5 2/7 * 1 1/4 + 5 2/7 * 1 3/4; в) 1 1/13 * 1 1/14 * 1 1/15 * 1 1/16 * 1 1/17 * 1 1/18

Привет! Давай вместе решим эти примеры с дробями. ### Задание а) Сначала переведём все смешанные дроби в неправильные, а затем будем выполнять действия по порядку: умножение, деление, вычитание. 1. Превратим смешанные дроби в неправильные: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ $3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$ $8\frac{4}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{72 + 4}{9} = \frac{76}{9}$ 2. Теперь подставим эти дроби в пример: $\frac{7}{3} \cdot \frac{16}{5} - \frac{76}{9} : 2$ 3. Сначала делаем умножение: $\frac{7}{3} \cdot \frac{16}{5} = \frac{7 \cdot 16}{3 \cdot 5} = \frac{112}{15}$ 4. Затем делаем деление (делить на 2 — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{2}$): $\frac{76}{9} : 2 = \frac{76}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{76 \cdot 1}{9 \cdot 2} = \frac{76}{18}$ Эту дробь можно сократить на 2: $\frac{76}{18} = \frac{76 : 2}{18 : 2} = \frac{38}{9}$ 5. Теперь выполним вычитание. Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 9 — это 45. $\frac{112}{15} - \frac{38}{9} = \frac{112 \cdot 3}{15 \cdot 3} - \frac{38 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{336}{45} - \frac{190}{45}$ 6. Вычитаем числители: $\frac{336 - 190}{45} = \frac{146}{45}$ 7. Переведём неправильную дробь обратно в смешанную, разделив 146 на 45: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 4 & 6 & 45 \ \hline 1 & 3 & 5 & 3 \ \hline & 1 & 1 \end{array}$$ Получается $3$ целых и $11$ в остатке, то есть $3\frac{11}{45}$. **Ответ: а) $3\frac{11}{45}$** ### Задание б) Здесь мы видим, что число $5\frac{2}{7}$ повторяется в обоих произведениях. Это значит, что мы можем вынести его за скобки, как общий множитель. Это свойство называется распределительным законом. 1. Переведём смешанную дробь $5\frac{2}{7}$ в неправильную: $5\frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{35 + 2}{7} = \frac{37}{7}$ 2. Перепишем пример, вынося общий множитель: $5\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{4} + 5\frac{2}{7} \cdot 1\frac{3}{4} = 5\frac{2}{7} \cdot (1\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4})$ 3. Сначала сложим числа в скобках: $1\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4} = (1+1) + (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$ 4. Теперь умножим $5\frac{2}{7}$ на $3$: $5\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{37}{7} \cdot 3 = \frac{37 \cdot 3}{7} = \frac{111}{7}$ 5. Переведём неправильную дробь обратно в смешанную, разделив 111 на 7: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 1 & 1 & 7 \ \hline 7 & & & 15 \ \hline 4 & 1 \ 3 & 5 \ \hline & 6 \end{array}$$ Получается $15$ целых и $6$ в остатке, то есть $15\frac{6}{7}$. **Ответ: б) $15\frac{6}{7}$** ### Задание в) В этом примере у нас умножение нескольких смешанных дробей. Давай сначала переведём все смешанные дроби в неправильные. 1. Переведём каждую дробь: $1\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$ $1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$ $1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$ $1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$ $1\frac{1}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 1}{17} = \frac{18}{17}$ $1\frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{19}{18}$ 2. Теперь запишем все неправильные дроби в виде произведения: $\frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17} \cdot \frac{19}{18}$ 3. В таком длинном произведении можно заметить, что многие числа в числителях и знаменателях повторяются. Мы можем сократить одинаковые числа, которые стоят сверху и снизу (одно в числителе, другое в знаменателе). Давай посмотрим: * 14 в числителе первой дроби и 14 в знаменателе второй дроби сокращаются. * 15 в числителе второй дроби и 15 в знаменателе третьей дроби сокращаются. * 16 в числителе третьей дроби и 16 в знаменателе четвёртой дроби сокращаются. * 17 в числителе четвёртой дроби и 17 в знаменателе пятой дроби сокращаются. * 18 в числителе пятой дроби и 18 в знаменателе шестой дроби сокращаются. Что остаётся? $\frac{\cancel{14}}{13} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{\cancel{18}}{\cancel{17}} \cdot \frac{19}{\cancel{18}} = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{19}{1}$ В итоге остаётся только 13 в знаменателе первой дроби и 19 в числителе последней дроби. 4. Получаем: $\frac{19}{13}$ 5. Переведём неправильную дробь обратно в смешанную, разделив 19 на 13: $$\begin{array}{cc|l} 1 & 9 & 13 \ \hline 1 & 3 & 1 \ \hline & 6 \end{array}$$ Получается $1$ целая и $6$ в остатке, то есть $1\frac{6}{13}$. **Ответ: в) $1\frac{6}{13}$**