Сравните числа: а) 9,835... и 9,847...

Привет! Давай разберемся с этими задачами. Тут нужно сравнивать числа, округлять их и находить целые числа. ### Задание 274. Сравните числа: Чтобы сравнить числа, нужно смотреть на разряды слева направо. Какое число больше в первом же отличающемся разряде, то число и больше. а) $9,835...$ и $9,847...$ Смотрим на первые цифры: $9 = 9$. Дальше: $8 = 8$. Следующая: $3 < 4$. Значит, $9,835...$ меньше, чем $9,847...$ **Ответ: $9,835... < 9,847...$** б) $-1,(27)$ и $-1,272$ Сначала развернём периодическую дробь: $-1,(27) = -1,272727...$ Теперь сравним $-1,272727...$ и $-1,272$. Так как оба числа отрицательные, то то число, которое по модулю (без знака минус) меньше, на самом деле больше. Смотрим на цифры: $1 = 1$, $2 = 2$, $7 = 7$, $2 = 2$. Дальше у первого числа идет $7$, а у второго как будто $0$ (мы можем добавить нули в конец, не меняя значение: $-1,272 = -1,272000...$). Значит, $1,272727... > 1,272000...$. Но так как у нас отрицательные числа, то наоборот: $-1,272727... < -1,272000...$ **Ответ: $-1,(27) < -1,272$** в) $0,06(3)$ и $0,0624$ Развернём периодическую дробь: $0,06(3) = 0,06333...$ Теперь сравним $0,06333...$ и $0,0624$. $0 = 0$, $0 = 0$, $6 = 6$. Следующая цифра: $3 > 2$. Значит, $0,06333...$ больше, чем $0,0624$. **Ответ: $0,06(3) > 0,0624$** г) $2\frac{1}{7}$ и $2,142$ Переведем $2\frac{1}{7}$ в десятичную дробь: $1 \div 7 \approx 0,142857...$. Значит, $2\frac{1}{7} \approx 2,142857...$ Сравним $2,142857...$ и $2,142$. $2 = 2$, $1 = 1$, $4 = 4$, $2 = 2$. Дальше у первого числа идет $8$, а у второго как будто $0$ (можем добавить нули: $2,142 = 2,142000$). Значит, $2,142857... > 2,142000...$ **Ответ: $2\frac{1}{7} > 2,142$** д) $1,(375)$ и $1\frac{3}{8}$ Переведем $1\frac{3}{8}$ в десятичную дробь: $3 \div 8 = 0,375$. Значит, $1\frac{3}{8} = 1,375$. Развернём периодическую дробь $1,(375) = 1,375375375...$ Теперь сравним $1,375375375...$ и $1,375$. У первого числа после $1,375$ идут цифры $375$, а у второго — нули. Значит, $1,(375)$ больше, чем $1\frac{3}{8}$. **Ответ: $1,(375) > 1\frac{3}{8}$** е) $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$ Развернём периодическую дробь: $-3,(16) = -3,161616...$ Переведем $-3\frac{4}{25}$ в десятичную дробь: $4 \div 25 = 0,16$. Значит, $-3\frac{4}{25} = -3,16$. Теперь сравним $-3,161616...$ и $-3,16$. Так как оба числа отрицательные, то то число, которое по модулю (без знака минус) меньше, на самом деле больше. Смотрим на цифры: $3 = 3$, $1 = 1$, $6 = 6$. Дальше у первого числа идет $1$, а у второго как будто $0$. Значит, $3,161616... > 3,16$. Но так как у нас отрицательные числа, то наоборот: $-3,161616... < -3,16$. **Ответ: $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$** ### Задание 275. Какая из точек — $C$ или $D$ — на координатной прямой ближе к точке $M$, если: Чтобы узнать, какая точка ближе, нужно найти расстояние от каждой точки до точки $M$. Расстояние — это разница между координатами, взятая по модулю (всегда положительное число). а) $C(4,514)$, $D(-1,9368...)$, $M(1,304)$; Расстояние от $C$ до $M$: $|C - M| = |4,514 - 1,304| = |3,21| = 3,21$ Расстояние от $D$ до $M$: $|D - M| = |-1,9368... - 1,304| = |-3,2408...| = 3,2408...$ Сравниваем расстояния: $3,21 < 3,2408...$. Значит, точка $C$ ближе к $M$. **Ответ: Точка $C$** б) $C(-2,4815...)$, $D(11,454)$, $M(4,586)$ Расстояние от $C$ до $M$: $|C - M| = |-2,4815... - 4,586| = |-7,0675...| = 7,0675...$ Расстояние от $D$ до $M$: $|D - M| = |11,454 - 4,586| = |6,868| = 6,868$ Сравниваем расстояния: $7,0675... > 6,868$. Значит, точка $D$ ближе к $M$. **Ответ: Точка $D$** ### Задание 276. Расположите в порядке возрастания числа: $4,62$; $3,(3)$; $-2,75...$; $-2,63...$ Сначала развернем периодическую дробь и запишем все числа с несколькими знаками после запятой для удобства сравнения: $4,62$ $3,(3) = 3,333...$ $-2,75...$ $-2,63...$ Самые маленькие числа — отрицательные. Сравниваем $-2,75...$ и $-2,63...$. По модулю $2,75... > 2,63...$. Но так как это отрицательные числа, то $-2,75... < -2,63...$. Теперь сравним положительные числа: $4,62$ и $3,333...$. Очевидно, что $3,333... < 4,62$. Итак, порядок возрастания (от меньшего к большему): **Ответ: $-2,75...$; $-2,63...$; $3,(3)$; $4,62$** ### Задание 277. Расположите в порядке убывания числа: $1,371...$; $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $-0,078...$ Сначала развернем периодическую дробь и запишем все числа с несколькими знаками после запятой для удобства сравнения: $1,371...$ $2,065$ $2,056...$ $1,(37) = 1,373737...$ $-0,078...$ Самое большое число — это положительное число с наибольшим значением. Сравниваем $2,065$ и $2,056...$. $2,065 > 2,056...$ Теперь сравниваем оставшиеся положительные числа: $1,371...$ и $1,373737...$. $1,373737... > 1,371...$ И, конечно, отрицательное число $-0,078...$ будет самым маленьким. Итак, порядок убывания (от большего к меньшему): **Ответ: $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $1,371...$; $-0,078...$** ### Задание 278. Какие целые числа расположены между числами: Целые числа — это числа без дробной части: $\{... -2, -1, 0, 1, 2 ...\}$. а) $-3,168...$ и $2,734...$ Между $-3,168...$ и $2,734...$ находятся целые числа: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$. **Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$** б) $-4,06$ и $-1,601$ Между $-4,06$ и $-1,601$ находятся целые числа: $-4, -3, -2$. **Ответ: $-4, -3, -2$** в) $-5,106...$ и $-1,484...$ Между $-5,106...$ и $-1,484...$ находятся целые числа: $-5, -4, -3, -2$. **Ответ: $-5, -4, -3, -2$** г) $-1,29$ и $0,11$ Между $-1,29$ и $0,11$ находятся целые числа: $-1, 0$. **Ответ: $-1, 0$** ### Задание 279. Найдите приближённое значение выражения $a + b$, где $a = 1,0539...$ и $b = 2,0610...$, округлив предварительно $a$ и $b$: а) до десятых; Округляем $a$ и $b$ до десятых: $a \approx 1,1$ (так как после $0$ идет $5$, округляем в большую сторону) $b \approx 2,1$ (так как после $0$ идет $6$, округляем в большую сторону) $a + b \approx 1,1 + 2,1 = 3,2$ **Ответ: $3,2$** б) до сотых; Округляем $a$ и $b$ до сотых: $a \approx 1,05$ (так как после $5$ идет $3$, оставляем как есть) $b \approx 2,06$ (так как после $6$ идет $1$, оставляем как есть) $a + b \approx 1,05 + 2,06 = 3,11$ **Ответ: $3,11$** в) до тысячных. Округляем $a$ и $b$ до тысячных: $a \approx 1,054$ (так как после $3$ идет $9$, округляем в большую сторону) $b \approx 2,061$ (так как после $1$ идет $0$, оставляем как есть) $a + b \approx 1,054 + 2,061 = 3,115$ **Ответ: $3,115$** ### Задание 280. Найдите приближённое значение выражения $a - b$, где $a = 59,678...$ и $b = 43,123...$, округлив предварительно $a$ и $b$: а) до десятых; Округляем $a$ и $b$ до десятых: $a \approx 59,7$ (так как после $6$ идет $7$, округляем в большую сторону) $b \approx 43,1$ (так как после $1$ идет $2$, оставляем как есть) $a - b \approx 59,7 - 43,1 = 16,6$ **Ответ: $16,6$** б) до сотых; Округляем $a$ и $b$ до сотых: $a \approx 59,68$ (так как после $7$ идет $8$, округляем в большую сторону) $b \approx 43,12$ (так как после $2$ идет $3$, оставляем как есть) $a - b \approx 59,68 - 43,12 = 16,56$ **Ответ: $16,56$** в) до тысячных. Округляем $a$ и $b$ до тысячных: $a \approx 59,678$ (так как после $8$ идет ..., оставляем как есть, предполагая, что следующая цифра меньше 5) Допущение: для $a = 59,678...$ при округлении до тысячных, если следующая цифра неизвестна, мы предполагаем, что она меньше 5, и оставляем $8$ без изменений. Если бы была $5$ или больше, мы бы округлили до $59,679$. $b \approx 43,123$ (так как после $3$ идет ..., оставляем как есть, предполагая, что следующая цифра меньше 5) Допущение: для $b = 43,123...$ при округлении до тысячных, если следующая цифра неизвестна, мы предполагаем, что она меньше 5, и оставляем $3$ без изменений. $a - b \approx 59,678 - 43,123 = 16,555$ **Ответ: $16,555$**