Вычисли: $32^{0,6} + 27^{-\frac{2}{3}} + \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}$ и Упрости выражение $\frac{x \cdot \sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[9]{x^2}}$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. ### Задание 6. Вычислите: $32^{0,6} + 27^{-\frac{2}{3}} + \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}$. Давай посчитаем каждое слагаемое по отдельности: 1. **$32^{0,6}$** Помнишь, что десятичную дробь можно превратить в обыкновенную? $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Значит, $32^{0,6} = 32^{\frac{3}{5}}$. Это значит, что нам нужно извлечь корень пятой степени из 32, а потом возвести результат в третью степень. $$32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3$$ Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Значит, $$(2)^3 = 8$$ 2. **$27^{-\frac{2}{3}}$** Отрицательная степень означает, что число нужно "перевернуть" (взять обратное число). А дробная степень означает корень. $$27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}$$ $$ \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} $$ Мы знаем, что $3^3 = 27$, значит $\sqrt[3]{27} = 3$. $$ \frac{1}{(3)^2} = \frac{1}{9} $$ 3. **$\left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}$** Снова отрицательная степень! Это значит, что дробь нужно "перевернуть" (поменять числитель и знаменатель местами), а потом возвести в степень. $$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} = (-3)^3 $$ $$ (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27 $$ Теперь сложим все результаты: $$ 8 + \frac{1}{9} + (-27) = 8 + \frac{1}{9} - 27 $$ $$ = 8 - 27 + \frac{1}{9} = -19 + \frac{1}{9} $$ Чтобы сложить, представим $-19$ как дробь со знаменателем $9$: $-19 = -\frac{19 \cdot 9}{9} = -\frac{171}{9}$. $$ -\frac{171}{9} + \frac{1}{9} = \frac{-171 + 1}{9} = \frac{-170}{9} $$ **Ответ: $-\frac{170}{9}$ или $-18\frac{8}{9}$** ### Задание 7. Упростите выражение $\frac{x \cdot \sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[9]{x^2}}$. Давай все корни запишем как степени с дробными показателями. Помни, что $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. * $\sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$ * $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ * $\sqrt[9]{x^2} = x^{\frac{2}{9}}$ * Обычный $x$ это $x^1$. Теперь подставим это в выражение: $$ \frac{x^1 \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{9}}} $$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. Сначала разберемся с числителем: $$ x^1 \cdot x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{1 + \frac{5}{6} + \frac{1}{3}} $$ Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Для $1, 6, 3$ общий знаменатель будет $6$. $$ 1 + \frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6 + 5 + 2}{6} = \frac{13}{6} $$ Теперь наше выражение выглядит так: $$ \frac{x^{\frac{13}{6}}}{x^{\frac{2}{9}}} $$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$ x^{\frac{13}{6} - \frac{2}{9}} $$ Найдём общий знаменатель для $6$ и $9$. Это $18$. $$ \frac{13}{6} - \frac{2}{9} = \frac{13 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{39}{18} - \frac{4}{18} = \frac{39 - 4}{18} = \frac{35}{18} $$ Значит, упрощённое выражение будет $x^{\frac{35}{18}}$. Можно записать это и в виде корня: $$ x^{\frac{35}{18}} = \sqrt[18]{x^{35}} $$ **Ответ: $x^{\frac{35}{18}}$ или $\sqrt[18]{x^{35}}$**