Пусть A(n) – множество натуральных решений неравенства 297 < x \leq 312, кратных числу n. Запиши множества A(2), A(3), A(5), A(9), A(10).

**Задание 53:** Давайте сначала разберёмся, что такое множество $A(n)$. Это все натуральные числа, которые больше 297, но меньше или равны 312, и при этом делятся на $n$ без остатка. Сначала найдём числа, которые подходят под условие $297 < x \leq 312$. Это числа: 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312. Теперь найдём те из них, которые делятся на заданное $n$. * **Для $A(2)$:** Мы ищем чётные числа (те, что делятся на 2). $A(2) = \{300, 302, 304, 306, 308, 310, 312\}$ * **Для $A(3)$:** Мы ищем числа, сумма цифр которых делится на 3. 300 (3+0+0=3, делится на 3) 303 (3+0+3=6, делится на 3) 306 (3+0+6=9, делится на 3) 309 (3+0+9=12, делится на 3) 312 (3+1+2=6, делится на 3) $A(3) = \{300, 303, 306, 309, 312\}$ * **Для $A(5)$:** Мы ищем числа, которые заканчиваются на 0 или 5. $A(5) = \{300, 305, 310\}$ * **Для $A(9)$:** Мы ищем числа, сумма цифр которых делится на 9. 306 (3+0+6=9, делится на 9) $A(9) = \{306\}$ * **Для $A(10)$:** Мы ищем числа, которые заканчиваются на 0. $A(10) = \{300, 310\}$ **Ответ:** $A(2) = \{300, 302, 304, 306, 308, 310, 312\}$ $A(3) = \{300, 303, 306, 309, 312\}$ $A(5) = \{300, 305, 310\}$ $A(9) = \{306\}$ $A(10) = \{300, 310\}$ **Задание 54:** Чтобы найти НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), мы разложим каждое число на простые множители. Простые множители — это числа, которые делятся только на 1 и на себя (например: 2, 3, 5, 7, 11 и так далее). а) **105 и 225** Разложим на множители: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$ НОД: Это произведение общих простых множителей в наименьшей степени. Здесь общие множители 3 и 5. $НОД(105, 225) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$ НОК: Это произведение всех простых множителей из обоих чисел в наибольшей степени. $НОК(105, 225) = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 225 \cdot 7 = 1575$ **Ответ: НОД(105, 225) = 15, НОК(105, 225) = 1575** б) **84 и 420** Разложим на множители: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ НОД: Общие множители 2 (в степени 2), 3 и 7. $НОД(84, 420) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$ НОК: Все множители в наибольшей степени. $НОК(84, 420) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 12 \cdot 35 = 420$ **Ответ: НОД(84, 420) = 84, НОК(84, 420) = 420** в) **273 и 110** Разложим на множители: $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ НОД: У этих чисел нет общих простых множителей. Когда нет общих множителей, НОД равен 1. $НОД(273, 110) = 1$ НОК: Все множители из обоих чисел. $НОК(273, 110) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030$ **Ответ: НОД(273, 110) = 1, НОК(273, 110) = 30030** г) **45, 120 и 525** Разложим на множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$ $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ $525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$ НОД: Общие простые множители с наименьшей степенью. Здесь это 3 и 5. $НОД(45, 120, 525) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$ НОК: Все простые множители из всех чисел в наибольшей степени. $НОК(45, 120, 525) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 72 \cdot 175 = 12600$ **Ответ: НОД(45, 120, 525) = 15, НОК(45, 120, 525) = 12600**