При каких значениях переменных имеет смысл рациональное выражение $\frac{x}{x - 2}$?

Привет! Давай разберемся с этими задачами. ### Задание 10 Рациональное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Нам нужно найти такие значения переменных, при которых знаменатель не будет равен нулю. а) $\frac{x}{x - 2}$ Здесь знаменатель равен $x - 2$. Чтобы выражение имело смысл, $x - 2 \neq 0$. Значит $x \neq 2$. б) $\frac{b + 4}{b^2 + 7}$ Здесь знаменатель равен $b^2 + 7$. Так как $b^2$ всегда больше или равно нулю ($b^2 \ge 0$), то $b^2 + 7$ всегда будет больше нуля ($b^2 + 7 > 0$). Значит, знаменатель никогда не будет равен нулю, и выражение имеет смысл при любых значениях $b$. в) $\frac{y^2 - 1}{y - 3}$ Здесь знаменатель равен $y - 3$. Чтобы выражение имело смысл, $y - 3 \neq 0$. Значит $y \neq 3$. г) $\frac{a + 10}{4(a - 1)}$ Здесь знаменатель равен $4(a - 1)$. Чтобы выражение имело смысл, $4(a - 1) \neq 0$. Это значит, что $a - 1 \neq 0$. Значит $a \neq 1$. ### Задание 11 Допустимые значения переменной — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Если в выражении есть деление, знаменатель не должен быть равен нулю. Если есть корень чётной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В этих задачах у нас только дроби. а) $x^2 - 8x + 9$ Это просто многочлен, здесь нет деления или корней. Значит, $x$ может быть любым числом. б) $\frac{3x - 6}{7}$ Здесь знаменатель равен 7, и он никогда не равен нулю. Значит, $x$ может быть любым числом. в) $\frac{x - 5}{x^2 + 25 - 8x}$ Здесь знаменатель равен $x^2 - 8x + 25$. Давай попробуем найти, когда он равен нулю. Если мы попробуем решить уравнение $x^2 - 8x + 25 = 0$ с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$), то получим: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36$$ Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что $x^2 - 8x + 25$ никогда не равен нулю. Значит, $x$ может быть любым числом. г) $\frac{x + 8}{x^2 - x - 8}$ Здесь знаменатель равен $x^2 - x - 8$. Чтобы выражение имело смысл, $x^2 - x - 8 \neq 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$$ Тогда корни будут: $$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$$ Значит, $x$ не может быть равен $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ и $x$ не может быть равен $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$. Допустимые значения: $x \neq \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ и $x \neq \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$. ### Задание 12 Нужно найти допустимые значения переменной в выражении. Опять же, смотрим на знаменатели. а) $\frac{8y - 8}{11}$ Здесь знаменатель равен 11, он никогда не равен нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. б) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$ Здесь знаменатель равен $y^2 - 2y$. Чтобы выражение имело смысл, $y^2 - 2y \neq 0$. Вынесем $y$ за скобки: $$y(y - 2) \neq 0$$ Это значит, что $y \neq 0$ и $y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$. Допустимые значения: $y \neq 0$ и $y \neq 2$. в) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$ Здесь у нас два знаменателя: $y - 6$ и $y + 6$. Каждый из них не должен быть равен нулю. 1. $y - 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ 2. $y + 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$ Допустимые значения: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.