Привет! Давай докажем каждое неравенство по очереди.
### Докажем неравенство: $28a - 32 \le 7a^2 - 4$
1. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы с одной стороны получился ноль. Удобно перенести всё вправо, чтобы при $a^2$ остался положительный коэффициент:
$$0 \le 7a^2 - 4 - 28a + 32$$
2. Упростим выражение:
$$0 \le 7a^2 - 28a + 28$$
3. Разделим все члены на 7, так как $28$ делится на $7$:
$$0 \le a^2 - 4a + 4$$
4. Теперь мы видим, что выражение $a^2 - 4a + 4$ — это формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.
$$0 \le (a-2)^2$$
Мы знаем, что любое число в квадрате всегда больше или равно нулю. То есть $(a-2)^2 \ge 0$ всегда, при любых значениях $a$.
Это доказывает неравенство.
### Докажем неравенство: $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$
1. Попробуем выделить полный квадрат. Вспомним формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Мы можем записать $9x^2$ как $(3x)^2$, а $4y^2$ как $(2y)^2$.
Посмотрим на средний член $6xy$. Он похож на $2AB$. Если $A=3x$ и $B=y$, то $2AB = 2 \cdot 3x \cdot y = 6xy$.
Тогда мы можем записать $9x^2 - 6xy + y^2$ как $(3x - y)^2$.
Но у нас $4y^2$, а не $y^2$. Это значит, что нельзя просто так собрать полный квадрат из всех членов.
Давай перепишем выражение так: $9x^2 - 6xy + y^2 + 3y^2$.
$$ (9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 \ge 0$$
2. Теперь сгруппируем: $9x^2 - 6xy + y^2$ — это $(3x - y)^2$.
$$ (3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$$
Мы знаем, что $(3x - y)^2$ всегда больше или равно нулю (потому что это квадрат числа).
И $3y^2$ тоже всегда больше или равно нулю (потому что $y^2 \ge 0$, и если умножить на положительное число $3$, результат останется $\ge 0$).
Сумма двух неотрицательных чисел всегда будет неотрицательной. То есть, $(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$.
Это доказывает неравенство.
### Докажем неравенство: $3(b - 1) < b(b + 1)$
1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$$3b - 3 < b^2 + b$$
2. Перенесём все члены в правую часть, чтобы слева остался ноль и $b^2$ был с положительным знаком:
$$0 < b^2 + b - 3b + 3$$
3. Упростим выражение:
$$0 < b^2 - 2b + 3$$
4. Теперь попробуем выделить полный квадрат из $b^2 - 2b$. Это похоже на начало формулы $(b-1)^2 = b^2 - 2b + 1$.
Значит, $b^2 - 2b + 3 = (b^2 - 2b + 1) + 2$.
$$0 < (b - 1)^2 + 2$$
Мы знаем, что $(b - 1)^2$ всегда больше или равно нулю.
Если к числу, которое больше или равно нулю, прибавить 2, то результат всегда будет строго больше нуля. То есть, $(b-1)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2 > 0$.
Это доказывает неравенство.
### Докажем неравенство: $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$
1. Раскроем скобки в левой части. Используем формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ для $(p-3)(p+3)$ и обычное умножение скобок для $(4p-1)(p+1)$:
$$(4p \cdot p + 4p \cdot 1 - 1 \cdot p - 1 \cdot 1) - (p^2 - 3^2) > 3(p^2 + p)$$
$$(4p^2 + 4p - p - 1) - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$$
2. Упростим выражения в скобках и раскроем их:
$$(4p^2 + 3p - 1) - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$$
3. Приведём подобные члены в левой части:
$$4p^2 - p^2 + 3p - 1 + 9 > 3p^2 + 3p$$
$$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$$
4. Перенесём все члены из правой части в левую:
$$3p^2 + 3p + 8 - 3p^2 - 3p > 0$$
5. Сократим подобные члены:
$$ (3p^2 - 3p^2) + (3p - 3p) + 8 > 0$$
$$ 0 + 0 + 8 > 0$$
$$ 8 > 0$$
Мы получили, что $8 > 0$. Это верное неравенство, оно всегда выполняется.
Это доказывает неравенство.
